Электрические цепи постоянного тока и методы их расчета. Режимы работы электрической цепи. Основные методы расчета сложных электрических цепей, страница 9

5. Проверка правильности расчетов. Для проверки правильности произведенных расчетов можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы уравнений:

узел d: I₃ + I₆ - I₁ = 0

внешний контур схемы: E₁ - E₂ = I₁(r₀₁ + R₁) + I₂R₂ - I₅(r₀₂ + R₅ +R₆) +I₆R₇.

Независимой проверкой является составление уравнения баланса мощностей (1.8) с учетом режимов работы элементов схемы с ЭДС:

.

Если активная мощность, поставляемая источниками питания, равна по величине активной мощности, израсходованной в пассивных элементах электрической цепи, то правильность расчетов подтверждена.

1.8. Основные методы расчета сложных электрических цепей

С помощью законов Ома и Кирхгофа в принципе можно рассчитать электрические цепи любой сложности. Однако решение в этом случае может оказаться слишком громоздким и потребует больших затрат времени. По этой причине для расчета сложных электрических цепей разработаны на основе законов Ома и Кирхгофа более рациональные методы расчета, два из которых: метод узлового напряжения и метод эквивалентного генератора, рассмотрены ниже.

Метод узлового напряжения

Этот метод рекомендуется использовать в том случае, если сложную электрическую схему можно упростить, заменяя последовательно и параллельно соединенные резисторы эквивалентными, используя при необходимости преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду. Если полученная схема содержит несколько параллельно соединенных активных и пассивных ветвей, как, например, схема на рис. 1.27, то ее расчет и анализ весьма просто можно произвести методом узлового напряжения.

Пренебрегая сопротивлением проводов, соединяющих ветви цепи, в ее схеме (рис. 1.27) можно выделить два узла: a и b. В зависимости от значений и направлений ЭДС и напряжений, а также значений сопротивлений ветвей между узловыми точками a и b установится определенное узловое напряжение U_ab. Предположим, что оно направлено так, как показано на рис. 1.27, и известно. Зная напряжение U_ab легко найти токи во всех ветвях.

Выберем положительные направления токов и обозначим их на схеме. Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров (1.4), проходящих по первой и второй ветви, содержащих источники ЭДС, совершая обход контуров по часовой стрелке.

Первая ветвь: E₁ = I₁(r₀₁ + R₁) + U_ab.

Вторая ветвь: -E₂ = -I₂(r₀₂ + R₂) + U_ab.

Рис. 1.27

Определим значения токов, возникающих в первой и второй ветвях,

(1.20)

,

(1.21)

, где: ; – проводимости соответственно первой и второй ветвей.

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для ветвей (1.5), содержащих источники напряжений, совершая обход контуров также по часовой стрелке.

Третья ветвь: U_ab - U₁ + I₃R₃ = 0.

Четвертая ветвь: U_ab + U₂ - I₄R₄ = 0.

Определим значения токов, возникающих в третьей и четвертой ветвях,

(1.22)

,

(1.23)

, где: ; – проводимости соответственно третьей и четвертой ветвей.

Ток в пятой ветви определим по закону Ома:

(1.24)

, где – проводимость пятой ветви.

Для вывода формулы, позволяющей определить напряжение U_ab, напишем уравнение по первому закону Кирхгофа (1.3) для узла a:

I₁ - I₂ + I₃ - I₄ - I₅ = 0.

После замены токов их выражениями (1.20) – (1.24) и соответствующих преобразований получим

.

Формула узлового напряжения в общем случае имеет вид

(1.25)

.

При расчете электрической цепи методом узлового напряжения после определения величины напряжения U_ab значения токов в ветвях находят по их выражениям (1.20) – (1.24).

При записи формулы (1.25) следует задаться положительным направлением узлового напряжения U_ab. Со знаком «+» в (1.25) должны входить ЭДС, направленные между точками a и b встречно напряжению U_ab, и напряжения ветвей, направленные согласно с U_ab. Знаки в формуле (1.25) не зависят от направления токов ветвей.