Определение моментов времени, в которые груз проходит через положение равновесия. Зависимость амплитуды свободных колебаний от длины свободного участка троса и угловой скорости барабана

                                    3.2 Постановка задачи 1 

Груз массой  укреплен на конце упругого растяжимого безинарционного троса, намотанного на барабан. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний груза  при равномерном вращении барабана с угловой скоростью . Площадь поперечного сечения троса , радиус барабана , модуль упругости материала троса .

Определить моменты времени, в которые груз проходит через положение равновесия, считая, что в начальный момент времени  длина размотанной части троса равна, полная скорость движения , а  (динамическое удлинение троса). Получить решения  частного случая: . Принять  кг, ГПа,  , , , .

3.3 Постановка задачи 2

Груз массой  укреплен на конце абсолютно гибкого нерастяжимого безинарционного троса, намотанного на барабан. Составить дифференциальное уравнение малых свободных поперечных колебаний груза  при равномерном вращении барабана с угловой скоростью .

Получить зависимость амплитуды свободных колебаний от длины свободного участка троса  и угловой скорости барабана . Рассмотреть опускание груза, приняв следующие условия: при , , ( - угол отклонения троса от вертикали).

3.4  Исходные данные к проекту

1.С использованием системы MathCAD рассчитать значения функций перемещения, скорости и ускорения динамической  системы с тросом. Построить графики этих функций (Задача 1).

2.Определить момент времени, в который движущаяся масса проходит через положение равновесия.

3.Рассчитать значения функций перемещения, скорости и ускорения динамической системы с тросом. Построить графики новых функций (Задача 2).

4.Исследовать влияние угловой скорости барабана и длины свободного участка троса на амплитуду свободных колебаний системы.

5.Вычислить аналитические аппроксимирующие функции по результатам исследований предыдущего пункта. Построить графически исходные и аппроксимирующие зависимости.  

3.5 Описание реализации задач и выводы

Задача 1. В процессе вертикальных колебаний на груз действуют сила инерции , сила тяжести  и восстанавливающая сила. Дифференциальное уравнение имеет вид:

            (1)

где . Полное напряжение   в тросе  можно рассматривать как сумму статического напряжения и напряжения, вызванного удлинением троса    при колебаниях груза:

       (2)

где . С учетом (2) представим уравнение (1) в виде:

       (3) 

Выразим из уравнения (3) :

           (4)

Для решения этого дифференциального уравнения в системе MathCAD разобьем его на систему дифференциальных уравнений первого порядка:

Решив эту систему, строим графики перемещения, скорости. График  ускорения получаем, вычислив уравнение (4) (см. приложение 1). Графики  скорости и ускорения затухающие, а на графике перемещения постепенно устанавливаются свободные колебания.

Для нахождения момента времени, когда груз проходит через положение равновесия, используем следующую формулу:

Аналитический результат составил , результат из графика . Погрешность составляет (см. приложение 1).

Задача 2.Применим уравнение Лагранжа второго рода. Положение тела в любой момент времени определяется двумя координатами: углом отклонения от положения статического равновесия  и длиной размотанной части троса . Поскольку - известная функция времени, в качестве обобщенной координаты выберем угол . Кинетическая энергия движущегося груза:

следовательно .(1)

Потенциальная энергия груза в отклоненном положении

  (2).

Подставим (1) и (2) в уравнение Лагранжа получим дифференциальное уравнение в виде:

.

  ,        получаем:

    .

,так как рассматриваем опускание груза, то

  , 

и,  следовательно, дифференциальное уравнение примет вид:

.

Для решения этого дифференциального уравнения в системе MathCAD, как и в предыдущей задаче разобьем его на систему дифференциальных уравнений первого порядка:

Аналогично строим все графики (см. приложение 2).

В приложениях 3 и 4 представлены опыты по изменению длины свободного участка троса l и угловой скорости барабана соответственно, и проведена аппроксимация данных.

Из опытов видно, что изменение длины свободного участка троса существенного влияния не оказывает. Чем больше l, тем  медленнее растет амплитуда колебаний. Изменение угловой скорости барабана оказывает большее влияние. При увеличении f  колебания усиливаются очень быстро, быстро растет амплитуда.

При проведении опытов параметры  и    принимали следующие значения: