Исследование математической модели движения материальной точки под действием центральной силы притяжения

материальной точке M приложены следующие силы: P – ее вес, F - сила притяжения, направленная к неподвижному центру O.

Составив векторное дифференциальное уравнение движения материальной точки и проектируя его на оси x и y, получим уравнения (1) и (2) (см. приложение 1)

Уравнение (1) является однородным линейным дифференциальным  уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение дифференциального уравнения (1) запишется в виде уравнения (3) (см. приложение 1).

Где С1 и С2 – постоянные интегрирования. Для определения С1 и С2 вычислим первую производную уравнения (3) получая уравнение (4) (см. приложение 1). Затем подставим в уравнение (3) t=0 x=a, а в уравнение (4) t=0, . Находим коэффициенты С1 и С2, и подставляя их в уравнение (3), имеем уравнение (5) (см. приложение 1)  – уравнение движения материальной точки по оси .

Дифференциальное уравнение (2), в отличие от дифференциального уравнения (1), является неоднородным. Следовательно, его общее решение имеет вид уравнения (6) (см. приложение 1), где y2 – частное решение неоднородного уравнения, а y1 – общее решение соответствующего однородного уравнения (7) (см. приложение 1).

Заметив, что дифференциальное уравнение (7) аналогично дифференциальному уравнению (1), следовательно, имеем уравнение (8) (см. приложение 1). Правая часть дифференциального уравнения (2) постоянна. Положив в уравнении (2) y=A, находим уравнение (9) (см. приложение 1).

Воспользовавшись формулами (8) и (9), запишем общее решение по формуле (6), получим уравнение (10) (см. приложение 1).

Для определения постоянных интегрирования С3 и С4 вычислим первую производную уравнения (10), получим уравнение (11) (см. приложение 1). Затем подставим в уравнение (10) t=0, , а в уравнение (11) t=0, . Находим коэффициенты С3 и С4, и внося их в уравнение (10), получаем уравнение (12) (см. приложение 1) которое является уравнением движения материальной точки по оси Y.

3.2. Исследование математической модели в пакете MathCAD.

Исследуем нашу математическую модель в пакете MathCAD численным методом, методом Рунге – Кутта, при помощи функции rkfixed (см.  приложение 2).

На основании этих вычислений построим графики сравнения траектории движения, скорости и ускорения, построенных на основании вычислений численного и формул аналитического методов в соответствии с проекциями на оси X и Y, и совмещая, их друг с другом (см. приложение 2). Полученные графики совпали, следовательно, уравнения движения, скорости и ускорения мы вычислили правильно.

Построим окончательный график уравнения траектории движения тела.

4. Проведение опытов.

4.1. Описание входных и выходных параметров.

Описание входных и выходных параметров осуществляется в пакете MathCAD (см. приложение 3).

4.2. Графическая схема алгоритма опыта.

Графическая схема алгоритма выполняется в пакете MathConnex (см. приложение 3).

4.3. Определение влияния скорости на траекторию движения тела.

Заключение.

В ходе данной курсовой роботы мы исследовали нашу математическую модель. Определили численно уравнения траектории движения, скорости и ускорения. Построили графики сравнения. Они совпали. Провели опыты в пакете MathConnex и определили аналитические аппроксимирующие функции влияния начальной скорости u 0 на траекторию движения тела в проекциях на оси X, Y. Полученные результаты представили в виде графиков. Определили, при какой начальной скорости траектория движения будет круговой.

В процессе работы над курсовой работой мы использовали такие приложения как: текстовый редактор – Microsoft  Word, математический