Расчет стержня на прочность и жесткость при растяжении (сжатии)

1. Расчет стержня на прочность и жесткость при, растяжении (сжатии) (задача № 1)

В  задаче дано:

1) расчетная схема стержня (в РГР-2 принять расчетную схему задачи №1 из РГР-1);

2) эпюра продольных сил Nx (построена при выполнении РГР-1);

3) допускаемое напряжение на растяжение и сжатие для материала стержня [σl] = 150 МПа;

4) модуль продольной упругости материала стержня E = 2*10⁵ МПа;

5) допускаемое перемещение  стержня   ;

Требуется:

1) для стержня постоянного поперечного сечения опре­делить размеры сечения, приняв его форму в виде квадрата;

2) определить нормальные напряжения σ  в одном из опасных сечений стержня и построить эпюру распределения этих напряжений по высоте сечения;

3) определить осевые перемещения сечений стержня, по­строить эпюру перемещении ∆l и проверить стержень на жесткость;

4) если условие жесткости (1.2) не выполняется, опре­делить новые размеры поперечного сечения стержня на осно­ве условия (1.2);

Решение:

 

1. Определение размеров поперечного сечения стержня:

По эпюре продольных сил N_x определяется опасное сечение стержня и максимальная по абсолютной величине про­дольная сила |N_xmax| в нем.

Из условия (1.1) определяется требуемая площадь по­перечного сечения стержня:

(1.1);            ;

Находятся требуемые и окончательные размеры попереч­ного сечения стержня постоянного сечения в виде квадрата: , где а_тр - сторона квадрата, требуемая из условия прочно­сти:     ; 

A = a², где a = 12 мм; 

A = 12² = 144 мм²;

2. Построение эпюры распределения нормальных напряжений σ по высоте опасного сечения:

Значение σ определяется по формуле:

Знак   напряжения   σ  соответствует   знаку   продольной   силы на эпюре N_x.

3. Построение эпюры перемещений поперечных сечений стержня ∆l:

При этом перемещение ∆l_xi на i-ом участке равно:

;

где ∆l_x(i-1)k  - перемещение крайнего сечения  i -1 грузового участка на границе с i - ым участком (расчет значения  ∆l_x(i-1)k  предшествует расчету i-того участка) при расчете первого грузового участка  ∆l_x(i-1)k  = 0); x_i - координата произволь­ного сечения на i-том участке относительно его начала (рис. 2). Знак силы N_xi  в формуле должен соответ­ствовать знаку усилия N_xi па эпюре продольных сил.

;    

2.  Расчёт  стержня на прочность и жёсткость при кручении (задача №2)

В задаче даны:

1) расчетная схема стержня (в РГР-2 принять расчетную схему задачи 2 из РГР-1);

2) эпюра крутящих моментов Т_х (построена при выпол­нении РГР-1);

3) допускаемое касательное напряжение материала стержня [τ] =90 МПа;

4)  модуль сдвига материала стержня G = 8*10⁴ МПа;

5) допускаемый угол закручивания на единицу длины стержня  [Ф] = 1,2*10^-2 рад/м.

Требуется:

1) из условия прочности определить диаметр стержня d сплошного поперечного сечения;

2) из условия прочности определить наружный d_Н и внут­ренний d_В диаметры стержня кольцевого поперечного сече­ния при a = d_В/d_Н=0,8;

3) сравнить по весу стержни сплошного и кольцевого поперечных сечений и оценить экономию материала при из­готовлении стержня кольцевого сечения;

4) построить эпюры распределения касательных напря­жений вдоль диаметра одного из опасных сечений сплош­ного и полого стержней;

5) определить углы закручивания  сечений стержня сплошного поперечного сечения, построить эпюру углов за­кручивания φ и проверить стержень на жесткость;

6) если условие жесткости не выполняется, опре­делить новый диаметр стержня сплошного сечения на основе условия жесткости.

 

Решение:

1. Определение диаметра стержня d сплошного поперечного сечения:

По эпюре крутящих моментов Т_х определяется опасное се­чение стержня и величина крутящего момента в нем |T_xmax|.

Из условия (2.1) определяется требуемый момент сопро­тивления W_{P TP}:

(2.1);         

d ≥ d_TP;   d = 140 мм;

2. Определение d_H и d_B диаметров стержня кольцевого поперечного сечения по найденному выше значению W_P,TP:

  

d_H = 160 мм

d_B = αd_H;   d_B = 0.8 * 160 = 128 мм;

3. Сравнение по весу стержней сплошного и кольцевого поперечных сечений:

По полученному численному значению коэффициента эко­номичности Э делается вывод о достоинствах стержня коль­цевого поперечного сечения по сравнению со сплошным.

4. Построение эпюры распределения касательных напряжений τ;

Распределение напряжений τ при кручении в опасном сечении подчиняется закону:

, где ρ — расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки; l_P — полярный момент инерции поперечного сечения стержня.

Для сечения в виде круга диаметром d:

     

Для сечения в виде кольца:

5. Построение эпюры углов закручивания φ сечений стержня сплошного поперечного сечения:

Углы закручивания φ_xi  на i-том участке определяются по формуле:

, где  φ_x(i-1)k  -  угол закручивания  крайнего сечения i -1  гру­зового участка, примыкающего к участку i.  Расчет участка  i -1 предшествует расчету участка i, поэтому величину  φ_x(i-1)k  можно считать известной; для первого грузового участка φ_x(i-1)k =  0; T_xi - крутящий момент на i-том участ­ке; x_i - координата произвольного сечения 1-го участка относительно его начала (по аналогии с задачей № 1). Знак момента T_xi в формуле соответствует знаку T_xi на эпюре крутящих моментов Т_х.

φ₀ = 0

6. Проверка условия жёсткости при кручении:

Так как условие не выполняется, необходимо найти новый момент инерции I_P,TP:

    

   

3. Расчет балки на прочность и жесткость при плоском поперечном изгибе (задача № 3)

В  задаче  даны:

1) расчетная схема балки (задача № 3 на плоский поперечный изгиб в РГР-1);

2) эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, по­строенные в РГР-1 для заданной расчетной схемы;

3) допускаемые нормальные [σ] и касательные напря­жения [τ] материала балки: [σ] = 160 МПа, [τ] = 100 МПа;

4}  модуль   упругости   материала   балки   Е = 2*10⁵   МПа;

Требуется:

1) из условия прочности  определить размеры прямо­угольного поперечного сечения балки при h/b = 2 (h и b — соответственно высота и ширина сечения);

2) подобрать по сортаменту прокатной стали номер двутавра, удовлетворяющий, условию прочности;

3) сравнить по весу балки, прямоугольного и двутавро­вого поперечного сечений и определить экономию материала при изготовлении двутавровой балки;

4) для каждой из двух балок построить эпюры распре­деления нормальных напряжений σ по высоте опасного се­чения, где M_х= |М_хmаx|;

5) для каждой из двух сечений балок построить эпюры распределения касательных напряжений τ по высоте опас­ного сечения, в котором Q_x= |Q_Xmax|;

6) проверить прочность балок по касательным напряже­ниям;  

7) построить эпюры углов, поворота θ и прогибов у для двутавровой балки;

Решение:

 

1. Определение размеров прямоугольного поперечного сечения балки:

Из эпюры М_х  определяется максимальное значение изгибающего момента М_Xmax.

Из условия (3.1) определяется требуемый момент со­противления:

(3.11); 

h = 2b;   h = 2*60 = 120 мм;

2. Выбор номера двутавра:

По сортаменту прокатной стали и  найденному по формуле значению W_Н.Отр определяется номер двутавра, удовлетво­ряющий условию прочности. Для этого по сортаменту дол­жен быть принят двутавр с большим ближайшим значением W_{Но ст} (по сортаменту W_z) по сравнению с требуемым зна­чением W_Hотр:

Номер двутавра: №18     

W_HOCT = 143 см³ = 0,143 *10 ^-3 м³;

W_HOCT ≥ W_HOTP;  143 ≥ 125 см³;

h_CT = 180 мм;

b_CT = 90 мм;

S = 5.1 мм;

t = 8.1 мм;

A_CT = 23.4 см²;

I_Z = 1290 см⁴;

S_Z = 81.4 см³;

3. Построение эпюр σ по высоте опасного сечения балки прямоугольного и двутаврового сечения:

 

Распределение напряжений σ в опасном сечении при из­гибе подчиняется закону:

_, где у - расстояние от рассматриваемой точки до нейтраль­ной оси сечения; I_Н.О -  момент инерции попе­речного сечения балки относительно нейтральной оси.

Для балки прямоугольного сечения:

    ;

Для двутавра:

     

    или   

   

4. Построение эпюр распределения касательных напряжений для прямоугольного и двутаврового сечений:

Балка прямоугольного сечения:

По эпюре поперечных сил Q_x определяется максимальное по абсолютной величине значение Q_Xmax

Распределение напряжений τ в прямоугольном сечении подчиняется закону:

Двутавровая балка:

Напряжения τ определяются в отдельных слоях сечения по формуле Журавского:

, где b_i - ширина рассматриваемого слоя i;  S_i^* - статический момент относительно нейтральной оси части сечения, рас­положенный по одну сторону от рассматриваемого слоя i. Всего рассматривается семь слоев:

  b₁ = b₂ = b₆ = b₇ = b_CT;    b₃ = b₄ = b₅ = S;   S₁^* = S₇^* = 0;

Для слоёв 2,3,5 и 6 моменты определяются по формуле:

τ₁ = τ₇ = 0;

τ₂ = τ₆;

τ₃ = τ₅;

5. 12.4 мПа < 100 мПа => условие прочности выполняется!

6. Построение эпюры углов поворота θ и прогибов у для двутавровой балки.

E = 2*10⁵ мПа;   двутавр №18

По  формуле определяем углы  поворота  сечений:

;

Iгрузовой участок:  0 ≤ x₁ ≤ 1;

;

  

IIгрузовой участок: 0 ≤ x₂ ≤ 2;

    

Определим прогибы y_iм:

I грузовой участок: 0 ≤ x₁ ≤ 1;

  

II грузовой участок: 0 ≤ x₂ ≤ 2;

  

Список литературы

1.   Внутренние силовые факторы в элементах химического оборудо­вания: Метод. указания/Сост. А. М. Василенко, А. И. Мильченко; ЛТИ им. Ленсовета. Л., 1985. 34 с.