Опорний конспект лекцій з дисципліни "Аналіз електронних схем" (Аналіз електронних схем за постійним струмом. Динамічний аналіз електронних схем)

Міністерство освіти і науки України

Донбаський державний технічний університет

Кафедра електронних систем

Сафронов П.С.

ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

з дисципліни

"Аналіз електронних схем"

для спеціальності 6.090803 "Електронні системи"

Алчевськ 2006

1. Аналіз електронних схем за постійним струмом

Відшукання робочої точки або розрахунок за постійним струмом електричних ланцюгів зазвичай є першим кроком при аналізі нелінійних схем. Він включає визначення вузлової напруги в схемі при даних параметрах джерел постійного струму і вимагає рішення систем нелінійних рівнянь.

Це може бути виконано за допомогою алгоритму Ньютона – Рафсона для декількох змінних.

Моделі активних приладів зазвичай включають експоненціальні функції, які можуть утрудняти обчислення. Отримавши рішення по постійному струму, проектувальник може зацікавитися його чутливістю по відношенню до параметрів ланцюга. У багатьох випадках нелінійні функції, що містяться в моделях діодів і транзисторів, відомі у вигляді таблиць, а не формул. У цій ситуації можлива шматкова лінеаризація між заданими точками.

1.1 Використання Алгоритму Ньютона – Рафсона

Алгоритм Ньютона – Рафсона (Н – Р) був введений раніше як один з методів відшукання коріння поліномів. Він добре відомий, широко використовується і має квадратичну збіжність, якщо початкове наближення близьке до точного рішення. Розглянемо його застосування для вирішення рівнянь ланцюгів.

При рішенні рівняння  в скалярному випадку ітерації Н – Р визначаються виразом

                                  (1.1)

Для окремих ланцюгів можливе виключення деяких змінних і зведення завдання до одного рівняння.

Для схем з двома і більш нелінійних елементів застосовують метод рішення систем нелінійних рівнянь.

Розглянемо систему n нелінійних рівнянь для  з n змінними :

                                       (1.2)

Позначимо вектор змінних через х і вектор функцій через f. Тоді (1.2) вдається записати у формі

f(х)=0.                                                 (1.3)

Припустимо, що система рівнянь має рішення;  позначимо його через х*. Припустивши, що х близько до х*, нехтуватимемо членами високого порядку і запишемо систему рівнянь в лінеаризованій формі

                                        (1.4)

де М – матриця Якобі функції f.

Якщо прирівняти нулю систему рівнянь (1.4), то рішення не буде рівне вектору х* (оскільки нехтували членами високого порядку). В результаті набудемо деякого нового значення х. Використовуючи верхні індекси для позначення послідовності ітерацій, отримуємо

.                              (1.5)

Формальне рішення (5) визначається як

                                              (1.6)

На практиці ж матриця Якобі не звертається. Позначивши

                                              (1.7)

отримаємо

.                                            (1.9)

Рішення знайдемо за допомогою LU-факторизації, значення  визначаємо з виразу

                                    (1.10)

Вирази (1.9) і (1.10) представляють алгоритм Н – Р для систем рівнянь. Його ще називають як рівняння Ньютона – Рафсона. Алгоритм має швидку збіжність (квадратичну поблизу точки рішення). Його недолік полягає в необхідності розрахунку матриці Якобі.

1.2 Метод вузлових потенціалів

При відшуканні рішення по постійному струму в деякому ланцюзі всі котушки індуктивності в ній закорачиваються, а всі конденсатори виключаються.

Формальний опис алгоритму:

1. Рівняння для вузлових потенціалів вимагають, щоб резистори з нелінійним опором описувалися рівнянням у формі

                                             (1.11)

Індекс b позначатиме напругу на гілки і струм в ній. Для вузлів використовуватимемо індекс n. Додатково слідує всі джерела в ланцюзі замінити джерелами струму.

2. Отримують Якобіан як диференціал складної функції

3. Визначають напругу на гілках.

3. Знаходять струми гілок.

4. Розраховують матрицю провідності. Для  резисторів з  лінійними опорами елементи матриці співпадають із значеннями їх провідності.

5.       Визначають Якобіан.

6.       Знайти значення векторної функції в точці.

7.       Вирішують систему рівнянь.

8.       Набути значень вузлових потенціалів.

9.       Якщо збіжність не досягнута, переходять до кроку 3.

1.3 Збіжність аналізу

При відшуканні режиму по постійному струму в схемах з діодами і біполярними транзисторами метод Н – Р може сходитися, але на деяких ітераційних кроках виникають труднощі в обчисленнях на ЕОМ. Вони викликані переповнюванням розрядної сітки машини.

Припустимо, що на к-йітерації отримана точка  і алгоритм передбачив на лінеаризованій характеристиці нову точку  з відповідним новим значенням . У стандартній процедурі потрібно розрахувати значення функції  . Оскільки експоненціальна функція росте надзвичайно швидко для позитивних значень, це може спричинити за собою переповнювання сітки ЕОМ.

Один з можливих засобів в цій ситуації полягає у використанні крапки, що отримується на кривій при русі по горизонталі замість переміщення по вертикалі. Інверсія діодної характеристики дає нову напругу. Горизонтальну проекцію можна використовувати для всієї напруги, що перевищує 0,7 В, а вертикальну – для напруги, меншої вказаного порогу

Інше евристичне правило рекомендує використовувати горизонтальну проекцію, коли, а вертикальну – у протилежному випадку.

2 Динамічний аналіз електронних схем

Часовий відгук електронної схеми можна знайти чисельною інтеграцією диференціальних рівнянь, що описують процеси в цій схемі. Методи чисельної інтеграції діляться на дві великі групи. У першій групі використовуються співвідношення, що спираються на лінійні багатокрокові (ЛБ) формули, в другій – на формули Рунге—Кутта (Р–К). Розглянемо ЛБ формули: пряма і зворотна формули Ейлера і формула трапецій. Методи, в яких використовуються формули Р–К, застосовуються давно. Проте, на відміну від методів першої групи, вони не знайшли такого широкого розповсюдження при розрахунку електронних схем на ЕОМ.

2.1 Методи Ейлера і трапецій

Диференціальне рівняння, яке повинне проінтегрувати, має вигляд

                                                 (2.1)

де t – час.

Відповідний цьому рівнянню інтеграл

                                      (2.2)

Припустимо, що відоме наближене рішення  в точці . Потрібно отримати рішення в момент, ввівши крок за часом

.                                        (2.3)

Якщо вирішувати починають при t₀, то початкове значення  відоме. Для будь-яких інших  чисельне значення  буде в загальному випадку відмінно від точного рішення . Оскільки  відомо, можемо розрахувати  по формулі (2.1) і набути наближеного значення, прийнявши, що при зміні t від t₀ до t₁ функція  залишається постійною і рівною .

Тоді

                                        (2.4)

Цей вираз відомий як пряма формула Ейлера, шукана функція  була апроксимована на кроці інтеграції прямої, співпадаючої з дотичною до цієї функції в точці . Помилка розрахунку тим більше, чим більше розмір кроку .

Можна виразити  через значення  і похідну .Для цього потрібно, як і раніше, прийняти, що функція  залишається на інтервалі  постійною і рівною . Тоді витікає, що

                                                   (2.5)