Контрольные задания по дисциплине "Машинная графика и геометрическое моделирование" (Интерполирование и аппроксимация кривых и поверхностей. Проективные пространственные преобразования)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра “Системы автоматизированного проектирования”

Контрольные задания

ПО ДИСЦИПЛИНЕ “МАШИННАЯ ГРАФИКА И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ”

Составитель  Н.И.Гданский

Москва  2001

1.  Построение кривых в векторной форме

2. 

Написать программы для вычерчивания из произвольного центра следующих параметрических кривых.  

1. ; , , а=10, b=20.

2. ;     a=40; b=4; c=1.

3. ;                        a=80.

4.r = (a+b sinj) j ; a = 10; b = 5; 0 £ j £ 10p.

5.y = a x ² + b x + c ; a = 0,05; b = 0,5; c = 30; -50 £ x £ + 50.

6. 

R=40; а) ;   б) ;   в) ;    г).

7.;a=60.

8. ; a=100.  

9.; a=100;b=30.

10.r = a + bj + cj ² ; a = 10; b =2; c=0,02; 0 £j£ 6p..

11. ; a=40.

12. ; a=50;b=2;c=0,5.

13.     a=20.

14.    

R = 30; m = 0,3.

15.  

R = 30; r = 15.

16.y = a / (x + b) + c ; a =700; b = -5; c = 10; 10 £ x £ + 250.

17. x = a cosj ;.

      y = b sinj ; a =70; b =25; 0 £ x £ + 250; 0 £j£ 6p..

2. Интерполирование и аппроксимация  кривых и поверхностей

1. На моделируемую кривую у(х) в узлах х₀ , х₁  наложены следующие геометрические условия:  у(х₀) = у₀ ;  у¢ (х₀)=у¢₀ ;  у(х₁) = у₁ ;  у¢ (х₁)=у¢₁ . При каком количестве параметров синтеза всегда возможна интерполяция кривой, а при каком – аппроксимация?

2. В узлах х₀ , х₁ , х ₂ на моделируемую кривую, форма которой задана шестью коэффициентами, наложены следующие геометрические условия:  у(х₀) = у₀ ;  у¢ (х₀)=у¢₀ ;  у(х₁) = у₁ ;  у¢ (х₁)=у¢₁ ;  у¢¢(х₁) = у¢¢₁; у(х₂) = у₂ ; у¢  (х₂)=у¢₂ . Возможна ли в общем случае интерполяция  данной кривой?

3. Найти степень полинома k и матрицу А (по возможности в численном виде) для определения коэффициентов полинома  `С =(C₀, C₁, …,C_k ) для следующих наборов геометрических условий:

а) задача 1  , б) задача 2 , в)  n=3; х₀ = 0 ; х₁ = 1 ; х₂  =2 ; х₃ =3;

 у(х₀) = 0 ;  у (х₁)= 2 ;  у(х₂) =5 ;  у (х₃)=6;

г)  n=2; х₀ = -1 ; х₁ = 0 ; х₂  =1 ;

 у(х₀) = -2 ; у¢(х₀) = 2; у(х₁)= у¢(х₁)=1; у(х₂) = 1,5; у¢(х₂) =0;

д)  n=2; х₀ = 1 ; х₁ =3 ; х₂  =4 ;

у(х₀)=у¢(х₀)=1; у(х₁)=2; у¢(х₁)=у¢¢(х₁)=0; у(х₂)=1; у¢(х₂)=- 2.

4. Найти выражения для функций Лагранжа и построить полиномы Лагранжа для следующих случаев интерполирования по однократным узлам:

а) задача 1, б) n=2; х₀ = 1 ; х₁ = 2 ; х₂  =3 ;

у(х₀) = - 2 ;  у (х₁)= 1 ;  у(х₂) = - 4 ;

в)  n=3; х₀ = -1 ; х₁ = 0 ; х₂  =1 ; х₃  = 2 ;

у(х₀) = 10 ;  у (х₁) = 5 ;  у(х₂) = - 1 ;  у(х₃) = 1 .

5. Найти разделённые разности и построить интерполяционные полиномы Ньютона для геометрических условий из задач 4 а), 1 б), 1в).

6. Найти выражения для функций h_i (x) и Н_i (x) и построить полиномы Эрмита для следующих случаев интерполирования по двукратным узлам:

а) задача 1 б) задача 3.г , в) n=2; х₀ = -2 ; х₁ = 0 ; х₂  =2 ;

у(х₀)=-8; у¢(х₀)=2 ; у(х₁)=1; у¢(х₁)=0; у(х₂) = -1 ;  у¢ (х₂) = - 2; г) n=3; х₀ = 0 ; х₁ = 1 ; х₂  =2 ; х₃  =4 ;

 у(х₀) = 10 ;  у¢ (х₀) = - 1;  у(х₁) = 6 ; у¢ (х₁) =0 ;  у(х₂) = 1 ;

  у¢ (х₂) =  2;  у(х₃) = 4 ;  у¢ (х₃) = 1.

7. Найти разделённые разности и построить обобщенные интерполяционные многочлена Ньютона для геометрических условий из задач 6 а), 1 б), 1в), г).

8. Найти выражения для функций Лагранжа и построить квадратичные формы  для следующих случаев интерполирования поверхностей по однократным узлам:

а) n=1; х₀ = 1 ; х₁ = 2 ;  m =2; y₀ = 1 ; y₁ = 2 ; y₂  =3 ;

z_0,0 = 1;  z_0,1 = 4 ; z_0,2 = 5 ; z_1,0 = 2 ; z_1,1 = 3 ; z_1,2 = 6 ;

б) n=2;х₀ =-2 ; х₁ = -1;х₂ = 1; m =2; y₀ = 1 ; y₁ = 2 ; y₂  =3 ;

z_0,0 = -10;  z_0,1 = -6 ; z_0,2 = z_1,0 = -4 ; z_1,1 = -2 ; z_1,2 = 0 ; z_2,0 = z_2,1 = 1 ; z_2,2 = 4.

8. Найти выражения для функций h_i (x), Н_i (x), h_j(y), Н_j (y) и построить квадратичные формы Эрмита для  интерполирования поверхностей по двукратным узлам:

а) n=1; х₀ = 0 ; х₁ = 2 ;  m =2;  y₀ = - 1 ;  y₁ = 0 ;   y₂  =1 ;

z_0,0 = 5;  z_0,1 = 3 ; z_0,2 = 6 ; z_1,0 = 8 ; z_1,1 = 5 ; z_1,2 = 7 ;

z^х_0,0 = 2;  z^х_0,1 = 1 ; z^х_0,2 = 0 ; z^х_1,0 = 1 ; z^х_1,1 = 2 ; z^х_1,2 = 0 ;

z^у_0,0 = - 1;  z^у_0,1 = 2 ; z^у_0,2 = 3 ; z^у_1,0 = - 2 ; z^у_1,1 = 1 ; z^у_1,2 = 3 ;

б) n=2; х₀ = -2; х₁ = -1 ; х₂ =1;  m =2;  y₀ = 0; y₁ = 1; y₂  =2 ;

z_0,0 = -8;  z_0,1 = -10 ; z_0,2 = z_1,0 = -7 ; z_1,1 = -5 ; z_1,2 = -2 ; z_2,0 = -5 ; z_2,1 = -2 ; z_2,2 =1 ;

z^х_0,0 = 0;  z^х_0,1 = 1 ; z^х_0,2 = 2 ; z^х_1,0 = 1 ; z^х_1,1 = 2 ; z^х_1,2 =  z^х_2,0 = 1 ; z^х_2,1 =  z^х_2,2 = 2 ;

z^у_0,0 = -1;  z^у_0,1 =1 ; z^у_0,2 =3 ; z^у_1,0 = 0 ; z^у_1,1 =1 ; z^у_1,2 =0 ;  z^у_2,0 = z^у_2,1 =1 ; z^у_2,2 =2.

9. Написать программу, рекурсивно вычисляющую для заданного m  последовательность чисел сочетаний С⁰ _m ,

С¹ _m   , С² _m ,…, С^m-1 _m , С^m _m.

10. C помощью программы bez_2d  смоделировать плоские кривые, близкие по форме к а) цифре “8”, б) цифре “3”, в) цифре “6”, г) букве  “с”, д) букве  “е”, д) букве  “s”.