Расчет вращающегося диска. Напряженно-деформированное состояние при упругом нагружении материала

Расчет вращающегося диска

Напряжение – деформированное состояние в диске зависит от центробежных сил самого диска, нагрузок на наружном и внутреннем его контурах и от первоначального нагрева.

Рассмотрим вращение с постоянной угловой скоростью ω диск постоянной толщины h с внутренним радиусом a и наружным радиусом b (рис.1)

Рисунок 1 в приложении

Внутренняя нагрузка P_a возникает в результате посадки диска на вал с натягом, а нагрузка P_b отражает воздействие на диск соединения с ним зубьев лопаток или силового обода.  Нагружение диска носит осесимметричный характер, т.е. напряжения деформации являются функциями только радиуса, касательные напряжений в радиальных и окружных сечениях отсутствуют, напряжения состояния во всех точках диска двуосное, а главным напряжением является окружное σt и радиальное  σr. По оси z  -напряжение равно нулю.

Напряженно-деформированное состояние при упругом нагружении материала

Рассмотрим случай упругого поведения конструкционного материала. Из обобщенного закона Гука для силовых деформаций.

                                                                                        (1)

 

Получим

 

 

Кроме того, напряжения подчиняются уравнению равновесия в проекции усилий на направление r  с учетом инерционной нагрузки:

                                                                                         (2)

Уравнения (2) для последующего вывода разрушающего уравнения приведем в другом виде:

                                                                                       (2.1)

                                                                          (2.2)

Учитывая связи силовых деформаций с перемещением n и изменения температуры материала:

   

 

Запишем условия совместности деформаций в следующем виде:

                                                                                                      (3)

Подставим соотношения для деформации (1) с учетом  в условие (3)

 

 выразим из уравнения (2) и получим

Воспользуемся соотношением (2.2) и в результате получим разрешающее уравнение относительно функции

 

Интегрируем это уравнение дважды:

 

Окончательно получим:

(4)

Тогда из уравнения (2.1) получим:

       (5)

Постоянные интегрирования находим из граничных условий:

 

 

Радиальное перемещение nявляется расчетным, конструктивным параметром узлов диск-вал и диск-обод и рассчитывается из соотношений:

(6)

Полные радикальные перемещения U_a и  U_t складываются из радиального силового перемещения и температурных напряжений.

Выполним анализ напряжений состояния диска для ситуации

1.  Рассмотрим сплошной диск (рис.2)

Рисунок 2 в приложении

Используем формулу (4):

Получаем

На основании формулы (5) имеем

 

2.  Рассмотрим диск с отверстием (рис.3)

Рисунок 3 в приложении

Используем формулу (4)

 

 

Получим:

 

 

На основе формулы (5) имеем

                                                                   (7)

                                                                   (8)

Напряжения   от центробежных массовых сил диска положительные, т.е. растягивающие, а наиб. Напряжение имеют место у  центральной части диска.

Сопоставление перемещений на контурах для диска с отверстиями (рис.3) можно провести, поскольку в формуле (6) напряжение , получаем:

Безразмерный коэффициент  при

Расчет угловой скорости соответствует началу пластических деформаций и предельного значения угловой скорости.

Найдем величину угловой скорости  при которой в диске начинают возникать пластические деформации. Для равномерно нагретого вращающегося диска без отверстия и без контурной нагрузки (рис.2) наиболее опасной является центральная точка, в которой окружное и радиальное напряжения равны величине .

Если воспользоваться теорией малых упругопластических деформаций, то при r=0 эквивалентное напряжение будет равно:

 

И пластические деформации начнутся, когда напряжения достигают величины:

 , тогда