Уравнение двухточечной коррекции

Рассмотрим заданное уравнение двухточечной коррекции:

Выберем порядок аппроксимации, задавая различные значения коэффициентов:

По формуле Тейлора распишем

Тогда исходное уравнение будет иметь вид

Исходя из этого уравнения, будем выписывать коэффициенты при степенях h:

Отсюда можно выразить все коэффициенты через .

В результате получаем семейство коррекций со вторым порядком аппроксимации:

Теперь посмотрим, как будет выглядеть коэффициент  при :

Учитывая, что  получим:

Выбирая соответственно коэффициент , мы будем получать того или иного представителя семейства, причем имеется возможность повысить порядок аппроксимации за счет выбора  , тогда получим, что коэффициент при   обнуляется и порядок аппроксимации становится третьим.

При этом уравнение коррекции будет иметь вид:

, тогда коэффициент  при  будет иметь вид:

Теперь будем исследовать заданную схему коррекции на устойчивость.

Пусть - точное решение, тогда формулу для коррекции можно записать в виде:

где -погрешность, возникающая при подстановки точного решения  неточную формулу.

Пусть теперь , т.е.разностное уравнение для вычисления погрешности имеет вид:

По теореме о среднем имеем:

Ввиду малости шага интегрирования h, предполагаем, что -постоянны , поэтому уравнение для вычисления погрешности можно переписать в виде:

Из уравнения видно, что выбор шага может скомпенсировать влияние коэффициента устойчивости А. Будем предполагать, что погрешность растет как степенная функция, т.е. . Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:

Согласно общему определению  устойчивости, общее решение однородного разностного уравнения  устойчиво , если  и условно устойчиво, если .

Теперь, исходя из того, что определим пределы изменения коэффициента так, чтобы схема была устойчива.

Найдем корни этого уравнения.

Исследуем на асимптотическую устойчивость, т.е. при , получим уравнение

 и его корни соответственно:

 

Таким образом, уже видно, что в данном случае речь может идти только об условной устойчивости:

Теперь, пытаясь подобрать подходящий прогноз для заданной коррекции, рассмотрим уравновешенную схему вида:

Проведем исследования этой схемы на порядок аппроксимации и устойчивость аналогично тому, как это было сделано для коррекции.

Определимся с порядком аппроксимации данной схемы. Используя формулу Тейлора, получим:

Будем выписывать коэффициенты при степенях h:

Выразим все коэффициенты через .

В результате получаем семейство прогнозов со вторым порядком аппроксимации:

Теперь посмотрим, как будет выглядеть коэффициент  при :

Учитывая, что получим:

Выбирая аналогично, как и прошлый раз, коэффициент , мы будем получать того или иного представителя семейства, причем имеется возможность повысить порядок аппроксимации за счет выбора  , тогда получим, что коэффициент при   обнуляется и порядок аппроксимации становится третьим.

При этом уравнение прогноза будет иметь вид:

, тогда коэффициент  при  будет иметь вид:

Исследуем прогноз на устойчивость.

Если - точное решение, тогда:

Если , то уравнение имеет вид:

Будем предполагать, что погрешность растет как степенная функция, т.е. . Тогда уравнение можно переписать в виде:

Исходя из того, что определим пределы изменения коэффициента так, чтобы схема была устойчива.

Найдем корни этого уравнения.

Исследуем на асимптотическую устойчивость, т.е. при , получим уравнение

 и его корни соответственно:

 

Таким образом, уже видно, что в данном случае речь может идти только об условной устойчивости:

  

Таким образом, зная порядок аппроксимации и область условной асимптотической устойчивости, попытаемся подобрать наилучшую пару прогноз- коррекция.

Будем рассматривать 4 пары схем прогноз-коррекция:

1.Для начала посмотрим прогноз и коррекцию на максимальном порядке аппроксимации, т.е.

В этом случае для прогноза коэффициент  при  будет иметь вид:

, а для коррекции . Таким образом, прогноз оказался неустойчивым, а коррекция устойчивой. Пара пригодна для вычислений и приближает решение с разных сторон.

2.Затем будем рассматривать пару прогноз-коррекция второго порядка аппроксимации, выбирая коэффициенты таким, образом, чтобы коррекция и прогноз были устойчивы.

Формула прогноза второго порядка аппроксимации имеет вид:

 Коэффициент  при имеет вид:

, кроме того потребуем, чтобы прогноз был устойчив, т.е. согласно выводам, сделанным выше необходимо, чтобы . Аналогично имеем для коррекции :

 и также . Отсюда, исходя из необходимости приближать решение на каждом шаге с разных сторон, потребуем чтобы:  и, учитывая требования устойчивости имеем: . Таким образом, выбрав , получим, что , следовательно, обе схемы при таком выборе будут устойчивы, и коэффициенты будут иметь вид:

Само уравнение прогноза:  .

И к нему

 Само уравнение коррекции:  и .

3. Затем, продолжая рассматривать пару двухточечных прогноза и коррекции со вторым порядком аппроксимации,  удалив требование устойчивости для прогноза, тогда выберем следующие коэффициенты: ,  тогда и ,

, тоже для коррекции: ,