Пространство элементарных событий. Случайные события

Случайный эксперимент – эксперимент, результат которого нельзя предугадать заранее.

Случайное событие – исход случайного эксперимента.

Пространство элементарных событий  – множество взаимно исключающих друг друга событий, или множество событий, удовлетворяющих условиям: в результате эксперимента обязательно появляется одно из событий; появление одного события исключает появление другого; в условия данного опыта эти события не могут быть разделены на более мелкие.

 называют дискретным, если оно конечно.

Событие – любое подмножество ; состоит из некоторой совокупности элементарных событий; происходит, если произошло одно из элементарных событий, содержащихся в нем.

Доверительное событие – событие, которое происходит всегда, т.е. является .

Невозможное событие  - событие, которое никогда не происходит, т.к. не содержит ни одного элементарного события.

: событие  входит (включено) в событие , если наступление события  влечет за собой наступление события .

: события  и  считаются равными, если одновременно  и .

: произведение (пересечение) двух событий  и  - событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходят оба события  и , т.е. состоит из элементарных исходов, принадлежащих одновременно обоим событиям.

События  и  несовместны, если .

 или : сумма (объединение) событий  и  - событие , которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий  и , т.е. состоит из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из исходных событий.

: разность событий  и  - событие , которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие  и не происходит событие , т.е. состоит из элементарных событий, которые принадлежат первому и не принадлежат второму событию.

: дополнение (противоположное событие)события  - событие , которое происходит тогда и только когда, когда  не происходит.

: симметрическая разность двух событий  и  - это событие , равное объединению событий  и .

Свойства:

1.  коммутативность: , ;

2.  ассоциативность: , ;

3.  распределительные законы: , ;

4.  поглощение: ;                             (было в упражнениях в методе)

5.  ;

6.  .

-множество – любое подмножество множества .

Алгебра событий – это такая система  -множеств, если , , а также , если , или это класс -множеств, замкнутый относительно конечного числа арифметических операций (умножение, сложение, вычитание).

-алгебра – это класс  -множеств из бесконечного множества элементарных исходов , удовлетворяющий условиям: ,  и если событий , то и событие , или это класс -множеств, замкнутый относительно счетного числа арифметических операций.

: измеримое пространство – пара объектов  и .

Вероятность события  - величина , или выраженная числом возможность появления события .

Свойства вероятности:

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  ;

5.  , если .

: размещения из  элементов по  элементов – соединения, состоящие из  элементов, взятых из данных  элементов и отличающихся от друг друга или самими элементами или их порядком, или это упорядоченные -элементные подмножества множества, состоящего из  элементов.

: перестановки – это размещения при .

: сочетания из  элементов по  элементов –  -элементные соединения, взятые из данных  элементов и отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом, или это -элементные неупорядоченные подмножества множества, состоящего из  элементов.

: размещения с повторениями из  элементов по  элементов – соединения по  элементов, причем каждый из  элементов может быть любым из  элементов.

: перестановки с повторениями из  элементов, среди которых имеется  элементов первого типа,  элементов второго, …,  элементов -ого типа, при этом  - соединения, содержащие все данные  элементов с указанными числами повторений одинаковых элементов и отличающихся друг от друга только порядком элементов.

Сочетания с повторениями - .

Гипергеометрическое распределение - , где  - общее количество элементов,  - количество выбранных элементов,  - количество отличных от всех элементов,  - количество выбранных отличных элементов.