Пространство элементарных событий. Случайные события, страница 2

Принцип геометрической вероятности состоит в следующем:

1. множество рассматривается как некоторое непрерывное ограниченное множество с бесконечным количеством элементов;

2. опыт состоит в бросании идеальной точки (без размера и веса) в это множество ;

3. вероятность попадания ее в какую-то область пропорциональна мере этой области .

и утверждает, что вероятность наступления события определяется, как , и что выбор любой точки из равновозможен.

: относительная частота события - отношение числа опытов, в которых событие произошло, к числу проведенных опытов.

Вероятность события из -алгебры называется вещественная функция, определенная на и удовлетворяющая следующим свойствам (аксиомам):

1. ;

2. ;

3. .

Вероятностная мера – вероятность, заданная на -алгебре .

Вероятностное пространство – тройка объектов , где - пространство элементарных событий, - -алгебра -множеств, - вероятностная мера на измеримом пространстве .

3’. Если события несовместны, то ;

4. Пусть последовательно событий такова, что , тогда (аксиома непрерывности).

Свойства вероятности.

1. ;

2. ;

3. . Следствие: ;

4. ;

5. (формула вероятности суммы событий);

6. ;

7. ;

8. ;

9. Если монотонная последовательность событий и , то .

: условная вероятность – вероятность события при условии, что в опыте произошло событие .

Формула умножения вероятностей - .

События и независимы, если .

Свойства независимых событий:

1. или . Следствие: если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события ;

2. Если события и независимы, то независимы события и , и , и .

3. Если события и , и независимы и , то независимы и события и .

4. Если события независимы в совокупности, то .

5. Пусть - независимые в совокупности события и , то (формула вероятности суммы независимых в совокупности событий).

События независимы в совокупности, если для .

Полная группа событий – это события такие, что ; ; , где - вероятностное пространство, а - гипотезы.

Формула полной вероятности - с учетом справедливости определения полной группы событий.

Если - априорные вероятности гипотез, а - апостериорные вероятности гипотез после того, как произошло событие , то - формула Байеса.

: статистика Бозе-Эйнштейна, которой подчиняются фотоны, атомные ядра, атомы с четным число частиц, если - число неразличимых частиц, - количество ячеек, - в ячейку попало частиц (в ячейке сколь угодно много частиц).

: статистика Ферми-Дирака, которой подчиняются электроны, протоны, нейтроны, если частиц, ячеек, - занято фиксированных ячеек (в ячейке не более одной частицы).

: статистика Максвелла-Больцмана, которой подчиняется идеальный газ, если частиц, ячеек, , A – в -ую ячейку попало ровно частиц.

: гипергеометрическое распределение, если частиц -ых типов, выбранных частиц -ого типа.

Схема Бернулли (последовательность независимых одинаковых испытаний, или биноминальная схема испытаний) – эксперимент, удовлетворяющий условиям: у эксперимента два исхода – появление или не появление некоторого события; эксперимент выполняется независимо раз; вероятности обоих исходов при каждом испытании одинаковы.

: формула Бернулли – вероятность наступления успехов в серии из независимых испытаний, если успех в каждом отдельном испытании наступает с вероятностью .

Теорема Пуассона (распределение Пуассона). Если число испытаний в схеме Бернулли велико, вероятность успеха в одном испытании мала и мало также число , тогда

: локальная теорема Муавра-Лапласа – если в схеме Бернулли число испытаний велико, то для всех справедливо данное приближенное равенство.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний велико, то вероятность того, что число успехов заключено в границах от до , приближенно равна , где