Алгебраический способ расчета параметров автоколебаний и анализа их устойчивости

Лекция 5. Алгебраический способ расчета параметров автоколебаний и анализа их устойчивости

В результате гармонической линеаризации нелинейного звена общая структура системы примет вид, показанный на рис. 28, где

,

для случая симметричных колебаний. Такой модели соответствует передаточная функция разомкнутой системы

и характеристический полином

.                          (5.1)

После замены s=jw получаем характеристический комплекс:

, на основе которого определяется периодическое решение x^*=a^*sinw^*t (симметричные автоколебания) из условия нахождения системы на колебательной границе устойчивости, получаемого по критерию Михайлова:

                           (5.2)

или

                                    (5.3)

Если конечное решение уравнений (5.3) в области положительных вещественных чисел существует, соответствующие значения a^* и w^* являются параметрами предельного цикла для данной нелинейной системы. Возможны несколько решений и соответственно несколько предельных циклов.

Рассмотрим более подробно порядок решения уравнений (5.3).

Используем представление числителя и знаменателя частотной передаточной функции линейной части системы в алгебраической форме:

,

.                                      (5.4)

После подстановки (5.4) в характеристический комплекс получим:

.

Теперь уравнения (5.3) примут вид:

,

.                 (5.5)

Система (5.5) существенно упрощается для однозначной нелинейности,  когда q'(a)=0:

,

;

;                                            (5.6)

,

.                               (5.7)

Уравнение (5.7) позволяет найти частоту предельного цикла. После ее подстановки в (5.6) можно найти и амплитуду.

Для получения условий устойчивости предельного цикла с параметрами a=a^* и w=w^* учтем, что в переходном процессе, по крайней мере, в малой окрестности предельного цикла, будут иметь место затухающие или расходящиеся колебания, параметры которых будут отличаться от a и w:

.                                    (5.8)

В символической форме предельному циклу будет соответствовать следующая запись:

, а выражению (5.8):

.

Следовательно, уравнение (5.2) в окрестности предельного цикла примет вид:

.                (5.9)

Разложим нелинейные функции Xи Y в ряд Тейлора в окрестности параметров предельного цикла, ограничиваясь с учетом малой величины приращений Da и Dw первыми членами разложения. После подстановки разложений в (5.9) получим:

. (5.10)

Вычтем из уравнения (5.10) уравнение (5.2), соответствующее рассматриваемому предельному циклу, и перегруппируем слагаемые:

,

.

Последнее уравнение эквивалентно системе двух уравнений:

,

.

Исключим Dw из полученной системы:

,

,

.              (5.11)

Анализ выражения (5.8) показывает, что для устойчивого предельного цикла при Da>0 колебания должны затухать, то есть должно быть x>0, при Da<0 расходиться, x<0. Таким образом, для устойчивого предельного цикла требуется совпадение знаков Da и x, и равенство в (5.11) может быть обеспечено только при выполнении условия

 или .               (5.12)

Символ «^*» в (5.12) означает, что данное условие должно выполняться после подстановки в него параметров анализируемого предельного цикла, найденных на основе (5.6)-(5.7), то есть a=a^* и w=w^*.

Если для найденной пары (a^*,w^*) условие (5.12) выполняется, остается потребовать, чтобы остальные корни характеристического полинома (5.1), кроме соответствующей рассматриваемому предельному циклу пары чисто мнимых ±jw^*, не нарушали устойчивости системы, то есть принадлежали левой полуплоскости. Для проверки этого условия необходим анализ полинома, получаемого путем исключения из (5.1) этой пары корней:

.                                      (5.13)

Если порядок полинома (5.13) не превышает второго (соответственно, порядок исследуемой системы не превышает четвертого), ограничиваются проверкой необходимого условия устойчивости. При большем порядке к полиному (5.13) следует дополнительно применить критерий Гурвица или Михайлова.

Рассмотрим САУ, структурная схема которой представлена на рис. 29.

Пусть задающее воздействие g(t)=0. С учетом формы статической характеристики нелинейности отметим, что условия симметричности автоколебаний выполняются. Нелинейность однозначная. Коэффициенты гармонической линеаризации нелинейности: , q’(a)=0.

Передаточная функция линейной части системы имеет вид:

,

, .

Характеристический полином:

.

Составим уравнения (5.6)-(5.7):

;

, ;

;

, ;

, ;

, .

В результате их решения находим один вариант параметров предельного цикла:

, .                                (5.14)

Для проверки его устойчивости составим характеристический комплекс системы:

;

,

и проверим выполнение условия (5.12):

, ,

, ,

.

Поскольку порядок исследуемой системы – третий, можно сделать вывод: в системе будет иметь место автоколебательный процесс с параметрами (5.14).