Таунсендовский разряд. Предельный ток Таунседовского разряда. Высоковольтный тлеющий разряд, страница 2

С увеличением параметра ad несамостоятельный ток резко, экспоненциально, нарастает, но тем не менее как бы ни был велик к-т усиления ток по-прежнему имеет несамостоятельный характер. Если прекратить накаливание катода, то j_em станет равным 0 и ток прекратится. Переход к самостоятельному разряду становится возможным благодаря следующему процессу: хотя ионы практически не производят ионизацию в промежутке, но при уходе из промежутка на катод, ударяясь об него ионы вызывают выход из катода так называемых g-электронов. К-т g или треттий к-т Таунсенда равен вероятности этого процесса. Он невелик  ~  10^-2 -10^-1  , но именно благодаря наличию g-процесса ток становится самостоятельным Рассмотрим прежнюю систему уравнений, но граничное условие на катоде запишем в следующем виде

j_e(0) = j_em + gj_i(0)

Для электронного тока интегрирование дает

j_e(x) = j_e(0)exp(ax)

Для ионов

j_i(x) = j_е(0)(exp(ad) - exp(ax))

В частности при х = 0

j_i(0) = j_e(0) (exp(ad) -1)

Полная плотность тока равна

j = j_e(0)exp(ad)

но мы пока еще не нашли чему равно j_e(0). Подставляя полученное выражение для j_i(0) в граничное условие на катоде получаем

j_e(0) = j_em + gj_e(0)(еxp(ad)-1)

Отсюда получаем

j_e(0) = j_em/(1 - g(exp(ad)-1))

а для плотности тока окончательно получаем

j = j_emexp(ad)/(1 - g(exp(ad)-1))

Казалось бы и здесь j  ~  j_em  и при прекращении накаливания катода ток прекратится. Это рассуждение верно, но до определенного момента, а именно до тех пор пока знаменатель не обратится в 0. Тогда мы будем иметь неопределенность типа 0/0, которая вовсе не обязательно будет равна 0. Это обстоятельство было истолковано Таунсендом таким образом, что при выполнении условия

g(exp(ad)-1)) = 1

становится возможным переход к самостоятельному разряду, а это условие так и называют условием самостоятельности. На первой лекции мы записывали его в более простом виде

gN_i =1, где N_i - число ионов возникших в промежетке в результате развития лавины образованной одним стартовашим с катода электроном. Нетрудно убедиться, что (exp(ad)-1)) это и есть число возникших в лавине ионов. Действительно из полученного выражения для электронного тока в промежутке полагая х=d получаем

j_e(d) = j_e(0)exp(ad)

т.е. в среднем в результате выхода с катода одного электрона на анод приходит exp(ad) электронов. Один из них это и есть тот самый стартовавший с катода, а остальные exp(ad)-1 образовались в промежутке, и поскольку появление в результате ионизации электрона означает и возникновение иона, то получаем

N_i = exp(ad)-1

что и требовалось доказать.

            5.Напряжение зажигания разряда. Выполнение условия самостоятельности достигается при некотором напряжении U  которое, зависит от длины промежутка и давления газа в нем. Попробуем установить эту зависимость, используя для к-та a Таунсендовскую аппроксимацию

a = Арехр(-Вр/Е)

Запишем условие самостоятельности в несколько иной форме

exp(ad) = 1/g +1

Логарифмируя правую и левую часть получаем

ad = ln(1/g+1)

Подставляя выражение для a и заменяя в нем Е на U/d получаем

Apdexp(-Bpd/U) = ln(1/g+1)

Еще раз прологарифмируем

ln(Аpd) - Bpd/U = ln(ln(1+1/g)) = С

Тогда

ln(Аpd)-С = Bpd/U

и отсюда

U_br = Bpd/(ln(Аpd)-С)

Поделив на рd получим выражение для пробойной напряженности поля, отнормированной на единичное давление

(Е/р)_br = B/(ln(Аpd)-С)

Как видно из полученного соотношения напряжение зажигания зависит от давления и длины промежутка не порознь а от их произведения. Таким образом мы имеем еще один закон подобия - закон Пашена