Твердое тело. Зонная теория. Схема туннелирования электронов и формирования кристаллической энергетической зоны

Лекция 7.

ТВЕРДОЕ ТЕЛО. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ

Для наглядного представления формирования энергетической структуры твердого тела используем пространственно-энергетическую модель атома в виде потенциальной ямы «глубиной» -U_i=V(0), по абсолютной величине равной энергии ионизации самой нижней электронной оболочки 1s², на дне которой располагается ядро с положительным зарядом Ze. Так как основным видом взаимодействия электронов с ядром является кулоновское взаимодействие, то в любом поперечном сечении Vr, проходящем через центр ядра r=0, яма ограничивается гиперболами

,                                            (1)

представляющими собой кулоновскую энергию взаимодействия электрона с ядром (рис.1).

Рис.1. Модель атома в виде потенциальной ямы (а) и схема уширения уровней с уменьшением межатомного расстояния (б).

(Здесь - пространственная полярная координата). Внутри этой ямы располагаются уровни энергии E внутренних электронных оболочек атома. Напомню, что каждой заполненной оболочке nl соответствует единственный уровень энергии nl¹S₀. При E®0 уровни оболочек сходятся – абсолютное значение их энергии изменяется обратно пропорционально n². Самыми верхними уровнями являются уровни валентных внешних электронов, в том числе и их возбужденные уровни. Геометрический размер атома только с одной 1s² оболочкой равен радиусу Бора r » a₀. С ростом числа электронов увеличивается размер атома, из-за увеличения радиуса стационарных орбит a. При приближении к пределу ионизации (U=0) для изолированного атома r®¥. То есть для изолированного атома потенциальная яма представляет барьер бесконечной толщины, а размер атома с высоковозбужденными валентными электронами может достигать больших значений.

Время жизни электронов в возбужденных состояниях приблизительно равно . (A – коэффициент Эйнштейна). Поэтому, в соответствии с принципом неопределенности, ширина этих энергетических уровней не превышает значения , т.е. в изолированном атоме энергетические уровни очень узкие.

Изолированные атомы встречаются только в космосе и в установках с глубоким вакуумом. Практически же в земных условиях мы имеем дело не с изолированными атомами, а с газом, жидкостью или с твердым телом. В этих случаях потенциальный барьер для электронов атома имеет конечную ширину, и поэтому становится возможным спонтанный переход электрона через этот барьер путем туннелирования. Частота таких переходов определяется выражением

.                         (2)

Здесь V »10⁸ см/с – скорость движения электрона массой m по орбите радиусом a»10^-8  см, b – ширина барьера в единицах длины, U-E – высота барьера в единицах энергии, E – энергия электронного состояния, U – энергия ионизации атома. Для нашей модели U=0.

Ширина барьера для электронов атомов, находящихся в газообразном состоянии при атмосферном давлении и комнатной температуре, приблизительно равна расстоянию между ними , N_L – число Лошмидта. Высота барьера равна энергии ионизации валентного электрона, типичное значение которой приблизительно равно 10 эВ. Подставив эти значения в формулу (2), получаем, что время туннелирования валентного электрона, находящегося в основном состоянии, от атома составляет . Если же этот электрон находится в возбужденном состоянии, например, в состоянии, в котором высота барьера равна 1 эВ, время его туннелирования резко сокращается до 10^-3 с. Это означает, что уже в газовой фазе вероятность туннелирования валентных электронов не равна нулю. Электроны, находящиеся на высоковозбужденных состояниях, могут туннелировать с высокой вероятностью. Поэтому энергетические уровни атомов, расположенные вблизи границы ионизации, сливаются в одну сплошную зону в результате перекрытия волновых функций этих состояний. Эти слитые состояния называются автоионизационными, потому что из них происходят спонтанные переходы электронов в свободное состояние. А сам процесс перехода  называется автоионизацией атома.

В твердых телах атомы располагаются друг от друга на расстоянии порядка 3×10^-8 см. Эта величина и является шириной потенциального барьера. Подставив ее в формулу (2), находим, что время жизни в атоме валентного электрона в основном состоянии (U-E =10 эВ) за счет эффекта туннелирования сокращается до Dt »10^-15 с. При таком времени жизни, очевидно, не имеет смысла предполагать о принадлежности этих электронов конкретному атому. Валентные электроны обобществляются и образуют энергетическую зону шириной порядка . Т.е. узкие энергетические уровни изолированного атома превращаются в широкую энергетическую зону в твердом теле (рис.1 и 2).

Рис.2. Схема туннелирования электронов и формирования кристаллической энергетической зоны

Иная картина имеет место для внутренних электронов атомов. Из-за большой величины потенциального барьера вероятность их туннелирования оказывается очень низкой. Например, высота потенциального барьера 1s²-оболочки атома натрия равна U-E = 1000 эВ. При той же ширине барьера b=3×10^-8 см время жизни электронов в этой оболочке составляет Dt » 10²⁰ лет. Уровни внутренних электронов остаются такими же узкими (рис.2), как у изолированного атома. Следовательно, внутренние электроны атомов, образующих твердое тело, остаются жестко связанными со своими атомами. Это означает, что излучательные переходы внутри системы уровней внутренних электронов – характеристическое рентгеновское излучение, не претерпевают изменений. Поэтому определение состава вещества по спектрам характеристического излучения остается достоверным и для изолированных атомов и для атомов связанных в твердом теле.