Однофакторный дисперсионный анализ

Практика 06 (часть II).

Однофакторный дисперсионный анализ. Группировка данных по классифицирующему признаку.

6.2. Однофакторный дисперсионный анализ.

Основные понятия.

Пусть результаты наблюдений составляют n независимых выборок (групп), полученных из n нормально распределенных генеральных совокупностей, которые имеют различные средние и равные дисперсии. Проверяется гипотеза о равенстве средних.

На практике такая задача возникает при исследовании влияния, которое оказывает изменение некоторого фактора на измеряемую величину. Например, если измерения проводятся на n различных приборах, то можно исследовать влияние фактора «прибор» на результаты измерения.

Пример 2. Удобрения для комнатных растений фасуются в пакеты весом по 0,5 кг. Из партии пакетов, расфасованных в течение суток, случайным образом отобрали 30 пакетов. Они распределены по трем различным условиям хранения. После хранения в течение одной недели определялось содержание влаги в продукте, хранящемся в каждом пакете.

Данные содержания влаги приводятся ниже.

На уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что условия хранения продукта не оказывают влияния на содержание влаги.

Предполагается, что выборки получены из независимых нормально распределенных совокупностей с одной и той же дисперсией.

Шаг 1. Создайте файл с исходными данными и запустите Группировка и однофакторный дисперсионный анализ (Breakdown & one-way ANOVA).

Шаг 2. Укажите как группирующую переменную столбец Группа, а как зависимую переменную – Влага.

Шаг 3. В окне результатов в закладке ANOVA & tests необходимо нажать кнопку Analysis of Variance (дисперсионный анализ). Не забудьте задать необходимый уровень значимости.

Критерии однородности дисперсий:

критерий Левена

критерий Брауна-Форсайта

Шаг 4. В таблице дисперсионного анализа приводятся:

SS Effect – сумма квадратов отклонений выборочных средних групп от общего среднего (Q₁);

df Effect – число степеней свободы для Q₁;

МS Effect – среднее значение суммы квадратов (отношение Q₁ к числу степеней свободы для Q₁);

SS Error – сумма квадратов отклонений результатов наблюдений от выборочных средних групп (Q₂);

df Error – число степеней свободы для Q₂;

MS Error – среднее значение суммы квадратов (отношение Q₂ к числу степеней свободы для Q₂):

Далее приводятся:

F – выборочное значение F-статистики;

p – вычисленный уровень значимости.

Так как вычисленный уровень значимости р = 0,000048 меньше заданного уровня значимости α = 0,05, то гипотеза о равенстве средних отклоняется. Таким образом, условия хранения продукта значимо влияют на содержание влаги в продукте (все значения выделены красным цветом).

Шаг 5. Напомню, что при применении дисперсионного анализа предполагается, что исходные данные – независимые выборки наблюдений, полученные из нормально распределенных генеральных совокупностей, имеющих одну и ту же дисперсию. При выполнении анализа выполнение этих предположений можно проверить.

Один из способов проверки нормальности состоит в том, что строится специальный график (кнопка Categorized normal prob. plots – категоризованные нормальные вероятностные графики)- точки, соответствующие нормально распределенным данным, укладываются на прямые.

Как показывают графики, исходные данные достаточно плотно группируются относительно прямых.

Для проверки выполнения предположения о равенстве дисперсий по группам используются так называемые критерии однородности дисперсий (Test of Homog. of Variances).

В пакете для этих целей можно использовать критерий Левена (Levene tests), либо критерий Брауна-Форсайта (Brown-Forsythe tests).

Чтобы выполнить эти процедуры нужно нажать соответствующие кнопки в окне результатов дисперсионного анализа. Для исходных данных примера гипотеза о равенстве дисперсий по группам принимается по этим двум критериям на уровнях значимости