Изменение осадок во времени. Дифференциальное уравнение теории фильтрационной консолидации. Дифференциальное уравнение одномерной задачи теории фильтрационной консолидации

Лекция 10

ИЗМЕНЕНИЕ ОСАДОК ВО ВРЕМЕНИ

Дифференциальное уравнение теории фильтрационной консолидации

Осадки грунтов не заканчиваются сразу по окончании строительства. Как правило, полная осадка , где β=0,8- коэффициент, характеризующий деформативность грунтов под нагрузкой, для различных грунтов достигается в разное время. Водонасыщенные пластичные и особенно текучепластичные (слабые) грунты дают наибольшие осадки, весьма медленно затухающие и создают для строителей наибольшие затруднения. Осадки сооружений на таких грунтах могут достигать сотен см и протекать десятки и сотни лет.  При неравномерных осадках оснований и больших скоростях осадок могут иметь место хрупкие (аварийные) разрушения конструкций, при малых скоростях осадок – медленные деформации ползучести.

В настоящее время для водонасыщенных (слабых)  грунтов наиболее широко применяется теория фильтрационной консолидации грунтов.

Предпосылки использования теории фильтрационной консолидации:

1) грунт полностью водонасыщен, вода и скелет грунта объемно несжимаемы, вода гидравлически непрерывна;

2) скелет грунта принимается линейно деформируемым: напряжения в котором мгновенно вызывают его деформации;

3) Грунт не обладает структурной прочностью, внешнее давление, прикладываемое к нему, в первый момент времени полностью передается на воду;

4) фильтрация воды в порах грунта полностью подчиняется закону Дарси; изменение пористости определяется  законом уплотнения.

Дифференциальное уравнение одномерной задачи теории фильтрационной консолидации

Описывает протекание во времени осадок полностью водонасыщенного грунта при уплотнении его равномерно распределенной нагрузкой в условиях односторонней фильтрации воды.

Примем, что в начальный момент времени грунтовая масса находится в статическом состоянии, поровое давление воды при этом равно нулю,  т.е. 

t = 0, p = p_пор= р_w; р_эфф = р_z=0.

Для слоя грунта, лежащего на водоупоре граничные условия следующие:

При z=0 и t>0 имеем p_эфф= р, р_w= 0. Незначительная некорректность просматривается в начальном моменте времени. Граничное условие будем рассматривать при t > 0.

Рис. 1. Схема распределения давлений в скелете грунта (р_z) и в поровой воде (р_w) в водонасыщенном слое при сплошной нагрузке для разных  промежутков   времени

Очевидно, что

                                                     р_z + р_w = р,                                                  (1)

т.е. на любой глубине z  от дренирующей поверхности давление в поровой воде и давление в скелете грунта равно внешнему давлению р.

Для элементарного слоя dz на глубине z в грунтовой массе увеличение расхода воды q равно уменьшению пористости грунта n, т.е.

                                                         (2)

Преобразуем левую и правую части уравнений:

Для левой части по закону Дарси                                          (3)

                                                 (4)

Принимая, что напор в воде Н равен давлению в воде р_w, деленному на удельный вес γ_w, из выражения (1)  следует:

р_w = р – р_z;    Н = р_w/ γ_w  или Н = (р - р_z) / γ_w  , откуда                                                                                      (5)

учитывая выражение (4), получим

                                                     (6)

Учитывая, что пористость грунта n = e/(1+ e), пренебрегая в знаменателе изменением коэффициента пористости е по сравнению с единицей