Операторы момента (коммутационные соотношения для операторов момента; магнитное квантовое число; орбитальное квантовое число)

Лекция №4.

План лекции:

операторы момента.

Ключевые слова:

коммутационные соотношения для операторов момента магнитное квантовое число орбитальное квантовое число собственные функции оператора момента

Операторы момента.

Операторы проекций момента определяются формулой (1.40) и имеют вид

                                  (1.50).

Наряду с операторами проекций, определим оператор квадрата момента

                                               (1.51).

Можно показать, что правила коммутации введённых операторов момента определяются выражениями

                    (1.52).

Из полученных коммутационных соотношений следует, что определённое значение в один и тот же момент времени могут иметь квадрат (модуль) момента и одна из его проекций. Вместе с тем какие-либо две проекции момента не могут быть определены одновременно.

Запишем теперь операторы и в сферической системе координат, полярный угол которой  будем отсчитывать как обычно от оси OZ, а угол  от оси OX. Оператор проекции момента имеет вид

                                                  (1.53).

Найдём собственные функции и спектр собственных значений оператора. Собственные функции удовлетворяют уравнению

                                                .

Решая уравнение, получим

                                                      , где С – нормирующий множитель. Полученная функция должна удовлетворять стандартным условиям. Одно из них, условие однозначности функции приводит к требованию

. Это условие выполняется лишь в том случае, если отношение  является целым числом. Отсюда получаем

                                      (1.54), где квантовое число m называется магнитным квантовым числом. Для волновой функции получим

                                             (1.55), причём она удовлетворяет условию ортонормированности

                                                                                        (1.56)

Обратимся теперь к оператору . В сферической системе координат он имеет вид

                         (1.57).

Найдём общие собственные функции операторов  и . Собственные функции и собственные значения оператора определятся из уравнения

                                          (1.58), где , а - функция вида (1.55). Введём вспомогательные операторы вида

                                                  (1.59).

Определим правила коммутации введённых операторов с оператором . Используя коммутационные соотношения (1.52), получим

                                 (1.60).

Пусть - собственная функция оператора , принадлежащая собственному значению . Тогда с учётом соотношения (1.60) получим

                                     (1.61).

Из последнего соотношения вытекает, что стоящие в скобках функции , также являются собственными функциями оператора , принадлежащими значениям  и  соответственно. Таким образом, оператор порождает, а оператор  уничтожает один квант момента.

Проекция момента не может быть больше его модуля. Поэтому, при заданном значении магнитное квантовое число ограничено по модулю. Пусть . Поскольку состояние  не существует, то . Подействуем на это соотношение слева оператором . Тогда получим

.

Из последнего равенства следует, что собственные значения квадрата момента определяются формулой

                                   (1.62),

где число l называется орбитальным квантовым числом.

С учётом последней формулы уравнение приобретает вид

.                     

Это уравнение хорошо известно в математике. Его решения представляют собой присоединённые полиномы Лежандра , которые определяются формулами

                                    (1.63).

Собственные функции оператора представляют собой сферические функции

                                              (1.64).

Функции вида (1.64) удовлетворяют условию ортонормированности

                            (1.65), где интегрирование ведётся по полному телесному углу .

Состояния с определённым значением квадрата момента импульса являются вырожденными по магнитному квантовому числу m, причём кратность вырождения равна 2l+1. Вырождение выражается в том, что одному собственному значению модуля момента соответствует несколько (2l+1) собственных функций , отличающихся квантовым числом m. Это вырождение связано с тем, что вектор момента при одном и том же значении его модуля, может быть различным образом ориентирован по отношению к оси OZ.