Определение вероятности беспрерывной работы станка. Определение вероятности правильных ответов студентов

значения функции Ф(х)-стандартного нормального распределения даны в статистических таблицах. а) ;

b) ;

c) ;

d) ;

2. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что доля взошедших семян среди них отклонится по абсолютной величине от вероятности взойти каждому семени не более, чем на 0,06?

Решение:

Найдем необходимую численность повторной выборки по формуле , где t – параметр функции Лапласа (Ф(t)=0,99), ∆- абсолютная величина ошибки (отклонение доли взошедших).

Подставим данные:  семян.

Задание 4

На пути движения автомобиля четыре светофора, каждый из которых (независимо от других) запрещает дальнейшее движение автомобиля с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина с.в.  – число светофоров, пройденных автомобилем без остановки.

1.  Составить ряд распределения с.в.  и представить его графически.

2.  Найти функцию распределения с.в.  и построить её график.

3.  Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ().

4.  Определить вероятности: а) Р; b) Р; c) Р

Решение:

1.Число пройденных без остановки светофоров случайная величина имеющая распределение  параметрами

Распишем все возможные значения с.в. ;

Т.к. сумма всех P(ξ=k) равна 1, то действительно получили ряд распределения.

Для графического изображения ряда отложим по оси абсцисс число пройденных светофоров (k), а по оси ординат соответствующую им вероятность (P(=k)) и соединим полученные точки.

2. Функция распределения с.в.  находится как сумма накопленных вероятностей т.е.  

Так же строим график функции распределения.

3. Вычислим математическое ожидание (среднее значение):

, дисперсию D  

среднее квадратическое (стандартное) отклонение

4. Определим вероятности: а) ;

b) ;

c) .

Задание 5

Годовой облагаемый налогом доход  (в тыс. у.е.) наудачу выбранного частного предпринимателя города N является случайным с плотностью распределения

1.  Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).

2.  Найти функцию распределения с.в.  и построить её график.

3.  Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ().

4.  Во сколько раз число частных предпринимателей города N с доходом, облагаемым налогом меньше среднего, превышает число частных предпринимателей с доходом, облагаемым налогом больше среднего?

Решение:

1. По определению интегральной функции распределения  воспользуемся этим свойством:

Построим график функции p(x).

2. Найти функцию распределения с.в.  и построить её график.

Функция распределения:

Построим график функции распределения.

3. Вычислим математическое ожидание (среднее значение):

, дисперсию D  

среднее квадратическое (стандартное) отклонение

4Найдем вероятности предпринимателя иметь доход меньше среднего и больше среднего.

 следовательно искомое отношение числа предпринимателей с величиной дохода меньше среднего к числу предпринимателей с величиной дохода больше среднего равно:

Задание 6

При проверке длины 25 деталей изготовленных станком – автоматом были обнаружены следующие отклонения от номинала (в мм):

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,05.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,95.

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению С;

б) генеральной дисперсии значению 0,25×С ², где C = 1,11.

Решение:

1. Исследуемый признак непрерывный, так как может принимать любые значения на интервале и только точность измерения заставляет их округлять.

2. Ранжируем значения и проведем разбиение на k=1+3,32×lg(25)≈5 интервалов.

Найдем шаг интервала: ;

Построим гистограмму:

3. При визуальном анализе гистограммы можем выдвинуть гипотезу о том, что признак распределен по нормальному закону.

4. Найдем выборочные характеристики изучаемого признака.

Расчетная таблица:

Среднее

Дисперсия

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение

5. Фактическое значение статистики χ² определяется по формуле , где p_i – теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал , она находится с помощью функции стандартного нормального распределения, значения