Математический анализ
ЛекторВладимирВениаминовичИванов
2семестр
Глава 1. Системы гладких функций
1. Гладкие отображения арифметических пространств
Дифференцируемость отображения, матрица Якоби. Умножение матриц Якоби при суперпозиции отображений. Диффеоморфизмы. Матрица Якоби обратного отображения. Преобразование гладких ли- ний и касательных к ним. Якобиан системы функций, или функцио- нальный определитель. Умножение и обращение якобианов. Двумер- ные и трехмерные якобианы как локальные коэффициенты искаже- ния площади и объема.
2. Теория неявных функций
Нелинейное уравнение с двумя неизвестными и плоские гладкие линии. Нелинейное уравнение с тремя неизвестными и гладкие по- верхности в трехмерном пространстве. Система двух нелинейных урав- нений с тремя неизвестными и пространственные гладкие линии. Об- щая теорема о системе неявных функций. Вычисление производных и дифференциалов неявно заданных функций.
3. Преобразование дифференциальных выражений
Теорема об обратном отображении. Пример, подчеркивающий ло- кальный характер теоремы. Замена переменных в дифференциальных выражениях, содержащих: обыкновенные производные, частные про- изводные. Случаи явного выражения новых переменных через старые, старых через новые, неявные соотношения между переменными.
4. Гладкие многообразия
График гладкого отображения как простейшее многообразие. Па- раметрический способ описания гладкого многообразия. Задание мно- гообразия невырожденной системой нелинейных уравнений. Касатель- ные векторы как скорости движений по многообразию. Описание ка- сательных векторов для разных способов задания многообразия. Ка- сательное пространство, его размерность.
1
5. Условный экстремум
Постановка вопроса об экстремуме функции на многообразии, или условном экстремуме. Принципиальное сведение его к задаче о ло- кальном экстремуме функции меньшего числа переменных. Условно стационарные точки и необходимое условие экстремума. Поиск и ис- следование условно стационарных точек методом исключения диф- ференциалов. Метод множителей Лагранжа.
Глава 2. Интегрирование функций нескольких переменных
6. Двойные интегралы
Квадрируемые фигуры и их площади. Интегральные суммы Ри- мана функции двух переменных. Интегрируемые функции и двойной интеграл. Признаки интегрируемости. Основные свойства двойного интеграла: линейность, аддитивность, монотонность. Сведение двой- ного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интегра- ле. Пример: полярные координаты. Геометрические и механические приложения двойных интегралов.
7. Тройные интегралы
Кубируемые тела и их объемы. Интегральные суммы Римана функ- ции трех переменных. Интегрируемые функции и тройной интеграл. Признаки интегрируемости. Основные свойства тройного интеграла. Сведение тройного интеграла к повторному: одномерные и двумерные сечения. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры: цилин- дрические и сферические координаты. Геометрические и механиче- ские приложения тройных интегралов.
8. Обзор теории Лебега
Измеримые множества и мера Лебега. Измеримые функции и ин- теграл Лебега. Сравнение с интегралом Римана. Линейность, адди- тивность и монотонность интеграла. Пренебрежимые множества и термин ѕпочти всюдуї. Принцип Кавальери, или восстановление ме- ры множества по сечениям. Теорема Фубини Тонелли о повторных интегралах. Пример Остроградского. Якобиан как локальный коэф- фициент искажения меры. Теорема о замене переменных в интеграле Лебега.
2
9. Вычисление многомерных интегралов
Многомерные геометрические образы: параллелепипеды, пирами- ды, симплексы, конусы. Линейные замены переменных в кратных интегралах. Пример: обобщенный интеграл Эйлера Пуассона. Ин- тегрирование по слоям. Интегрирование сферически симметричных функций. Объем шара и площадь сферы в многомерном пространстве. Условия интегрируемости многомерных степенных особенностей.
10. Зависимость интеграла от параметра Интеграл как средство построения новых функций. Теоремы Лебе- га о монотонной и мажорированной сходимости. Предельный переход в интеграле, зависящем от параметра. Непрерывная зависимость ин- теграла от параметра. Дифференцирование и интегрирование по па- раметру. Граничные значения интеграла Лапласа, формулы для его производных. Пример: вычисление интеграла Дирихле. Глава 3. Интегрирование дифференциальных форм
11. Дифференциальные формы
Дифференциальные формы первой степени. Пример: форма рабо- ты. Общий вид дифференциальных 1-форм. Дифференциальные фор- мы второй степени. Пример: форма потока. Общий вид дифференци- альных 2-форм. Формы произвольной степени. Внешнее умножение дифференциальных форм. Внешнее дифференцирование. Замена пе- ременных в дифференциальных формах.
12. Криволинейные интегралы
Интегрирование функций вдоль линий, или криволинейные инте- гралы 1-го рода: определение интеграла, его основные свойства, спосо- бы вычисления, примеры приложений. Направление гладкой линии, его задание непрерывным семейством единичных касательных. Ин- тегрирование дифференциальных форм первой степени, или криво- линейные интегралы 2-го рода: определение интеграла, его основные свойства, способы вычисления, его физический смысл и приложения, связь с интегралом 1-го рода.
3
13. Поверхностные интегралы
Площадь поверхности. Интегрирование функций вдоль поверхно- стей, или поверхностные интегралы 1-го рода: определение интеграла, его основные свойства, способы вычисления, примеры приложений. Сторона гладкой поверхности, ее задание непрерывным семейством единичных нормалей. Интегрирование дифференциальных форм вто- рой степени, или поверхностные интегралы 2-го рода: определение ин- теграла, его основные свойства, способы вычисления, его физический смысл и приложения, связь с интегралом 1-го рода.
14. Классические интегральные формулы
Начало и конец направленной кривой. Распространение понятия интеграла от 1-формы на кусочно-гладкие линии. Формула Ньюто- на Лейбница для криволинейных интегралов. Случай замкнуто- го контура. Положительный обход границы плоской области. Фор- мула Грина. Согласование стороны поверхности и направления об- хода ее границы. Распространение понятия интеграла от 2-формы на кусочно-гладкие поверхности. Формула Стокса. Внешняя сторона поверхности, ограничивающей пространственную область. Формула Остроградского.
15. Точные и замкнутые формы
Точные 1-формы на плоскости и в пространстве и независимость интеграла от пути. Замкнутые 1-формы на плоскости и в простран- стве, их характерные свойства. Примеры: приращение угла, вихревые шнуры. Точные и замкнутые 2-формы от трех переменных, их ха- рактерные свойства. Топология области и связь между точными и замкнутыми формами. Прямая и обратная теоремы Пуанкаре.
Глава 4. Основы векторного анализа
16. Градиент. Ротор. Дивергенция
Скалярные и векторные поля. Градиент скалярного поля, его гео- метрическая характеристика, формальные свойства. Формула Нью- тона Лейбница в векторной записи. Ротор векторного поля, его гидромеханический смысл, формальные свойства. Формула Стокса в
4
векторной записи. Дивергенция векторного поля, ее физическая ин- терпретация, формальные свойства. Формула Остроградского в век- торной записи. Символический оператор Гамильтона. Оператор Ла- пласа.
17. Ортогональные криволинейные координаты
Координатные линии. Ортогональность криволинейной системы координат. Параметры Ламе и измерения в ортогональных криволи- нейных координатах. Представление скалярных и векторных полей, вычисление циркуляции и потока в криволинейных координатах. Вы- ражение градиента, ротора, дивергенции и оператора Лапласа в кри- волинейных координатах. Формулы для декартовых, цилиндрических и сферических координат.
18. Важнейшие классы векторных полей
Потенциальные и безвихревые векторные поля, их характерные свойства, связь между ними. Построение скалярного потенциала. Со- леноидальные и бездивергентные векторные поля, их характерные свойства, связь между ними. Построение векторного потенциала. Тео- рема Гельмгольца. Центральные векторные поля. Напряженность по- лей, создаваемых произвольно распределенными массой или зарядом
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.