Контрольные задания для студентов 2 курса (часть 2 Теория вероятностей)
10. Записать ряд распределения случайной величины
(вероятности р задать, исходя из условия: их сумма равна 1)
-----------------------------------------х 1 2 3 4 5 6
-----------------------------------------р
-------------------------------------------. 1)Найти математическое ожидание и дисперсию.2)Построить функцию распределения. 3) Найти вероятности следующих событий: случайная величина примет значение а) не больше единицы; в) не меньше своего математического ожидания.
11.Стрелок делает по мишени п выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. 1)Построить ряд распределения числа попаданий. 2)Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий. 3)Найти вероятность хотя бы одного попадания.Выбрать р, исходя из номера варианта
n=3;р=1)0.1;2)0,2;3)0,25;4)0,35;5)0,4;6)0,55;7)0,6;8)0,7;9)0,8;10)0,9
12. В урне имеются а белых и b черных шаров. Вынимают 2 шара. Построить ряд распределения числа черных шаров среди вынутых.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа черных шаров.
12.1.а=1 b=2.12.2 а=1 b=3.12.3 а=2 b=1 12.4 а=2 b=2 12.5 а=2 b=3.
12.6 а=3 b=1.12.7 а=3 b=2 12.8 а=3 b=3 12.9 а=2 b=3. 12.10 а=1 b=4.
13.Стрелок ведет стрельбу до первого попадания, имея в запасе n патронов. Вероятность попадания при одном выстреле равна р. 1)Построить ряд распределения числа израсходованных патронов.
2)Найти математическое ожидание числа израсходованных патронов.
(n,p из задачи 11)
14.Телефонная станция обслуживает n абонентов. Вероятность того, что любой абонент позвонит в течении часа равна р. 1)Найти среднее число и дисперсию числа вызовов.2)Какова вероятность получения в течении часа от 20 до 30 вызовов?
(Использовать нормальное распределение при n=100, p из задачи 11)
.
15. Совместное распределение случайных величин задано таблицей.
1) Получить частные распределения этих величин
2) Найти М(Х), М(Y),D(X), D(Y), cov(X,Y), r .(X,Y)
315) Получить уравнения прямых регрессии Y на Х и Х на Y
4) Изобразить на плоскости возможные положения случайной точки (Х,Y). И точку ( М(Х), М(Y).Построить прямые регрессии.
X |
y |
y |
.x |
1/8 |
0 |
x |
2/8 |
1/8 |
x |
1/8 |
2/8 |
x |
0 |
1/8 |
Выбрать х и y
в зависимости от номера N варианта из таблицы
N |
x |
x |
x |
x |
y |
y |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
-1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
-1 |
0 |
6 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
-1 |
0 |
7 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
8 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
1 |
2 |
9 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
2 |
3 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
16.Найти выборочный коэффициент корреляции r и выборочное уравнение линейной
регрессии y=ax+b.Построитьпрямую регрессии и изобразить на плоскости точки (
x,y) из таблицы.
16.1 16.6
16.2 16.7
16.3 16.8
16.4 16.9
16.5 16.10
Часть 2.Теория вероятностей и математическая статистика
К этому разделу относятся задачи 10 – 16 части 2 контрольного задания
Пример 10. Задан ряд распределения случайной величины
Вероятности р заданы произвольно, исходя из условия: сумма их равна 1
-----------------------------------------х 1 2 3 4 5 6
------------------------------------------
р 0,1 0,3 0,2 0,1 0,2 0,1
1)Найти математическое ожидание и дисперсию.2)Построить функцию распределения. 3) Найти вероятности следующих событий: случайная величина примет значение а) не больше единицы;
в) не меньше своего математического ожидания.
Решение. 1) Здесь используются формулы для математического ожидания
М(X)= хр
+х
р
+…х
р
и дисперсии D(X)=(х)
р
+(х
)
р
+…(х
)
р
-( М(X))
Подставляя в формулы значения из таблицы, вычислим
М(X)= 1 0,1+2 0,3+3 0,2+4 0,1+5 0,2+6 0,1=3,3
D(X)=1 0,1+4 0,3+9 0,2+16 0,1+25 0,2+36 0,1-(3,3)=2,41
2) Функция распределения F(x) равна вероятности того, что случайная величина примет значение, меньше х. Исходя из этого определения, найдем
F(x) =
3) Р(X1)=0,1; Р(X
3,3)=0,1+0,2+0,1=0,4
Пример 11. Стрелок делает по мишени п выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. 1)Построить ряд распределения числа попаданий. 2)Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий. 3)Найти вероятность хотя бы одного попадания.
( n=3; р=0,3)
Решение. При решении задачи
следует использовать биномиальное распределение: P(X=m)=C
p
(1-p)
, m=0;1;
;n
1)Ряд распределения числа попаданий имеет вид таблицы
m 0 1 2 3
-------------------------------р 0,343 0,441 0,189 0,027
Проверка. 0,343 + 0,441 + 0,189 + 0,027 =1
2) Среднее число или математическое ожидания и дисперсию числа попаданий можно найти двумя способами: либо используя формулы из примера 10, или общие формулы для биномиального распределения: М(X)n p; D(X)=n p(1-p)
М(X)=3 0,3=0,9;
D(X)=3 0,3 0,7=0,633) P
(X
1)=1- P
(X=0)=1-0,343=0,657
Пример12. В урне имеются а белых и b
черных шаров. Вынимают 2 шара. Построить ряд распределения
числа черных шаров среди вынутых.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа черных шаров.
Решение. Пусть а=3 b=4. Очевидно, что случайное число черных
шаров может принимать значения 0; 1; 2. Найдем вероятности этих значений.
Обозначим через А первый вынутый шар, через В – второй вынутый шар. Индекс 1
означает, что вынутый шар – белый, индекс 2 – черный.
Р(X=0)=Р(А В
)=
=
,
Р(X=1)=Р(А
В
+А
В
)=
+
+=
, Р(X=2)=Р(А
В
)=
=
.
Ряд распределения числа черных
шаров имеет вид
М(X)= D(X)=
-
=
Пример 13. Стрелок ведет стрельбу до первого попадания, имея в запасе n патронов. Вероятность попадания при одном выстреле равна р. Построить ряд распределения числа израсходованных патронов.
Найти математическое ожидание числа израсходованных патронов.
(n,p из задачи 11)
Решение. n=3, p=0,3. Очевидно, что случайное число израсходованных патронов может принимать значение 1, 2, 3. Найдем вероятности этих значений.
Обозначим А- попадание при i
выстреле,
- промах при i выстреле.
Р(X=1)=Р(А)=0.3. Р(X=2)=Р(
А
)=0,7 0,3=0,21. Р(X=3)=Р(
)=(0,7)
=0,49.
Таким образом ряд распределения имеет вид
М(X)=1
0,3+2 0,21+3 0,49=2,19 D(X)=1 0,3+4 0,21+9 0,49-(2,19)=0,754
14.Телефонная станция обслуживает n абонентов. Вероятность того, что любой абонент позвонит в течении часа равна р. Какова вероятность получения в течении часа от 20 до 30 вызовов? Найти математическое ожидание и дисперсию числа вызовов.
(Использовать нормальное распределение при n=100, p из задачи 11)
Решение. Вероятность того, что
число вызовов при большом значении n будет заключено
между m и m
находят, используя нормальное
распределение ( интегральную формулу Лапласа)
М(X)=n p=30; D(X)=n p(1-p)=21
P(m
X
m
)=Ф(х
)-Ф(х
),
где х
=
, Ф(х)-интеграл
вероятностей или функция Лапласа, для которой составлены таблицы
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.