Теория вероятностей: Вычислительный практикум (Практические занятия № 1-10: Случайные события. Системы двух случайных величин)

случайные процессы» для студентов очной формы обучения по специальностям 230102 «Автоматизированные системы обработки информации и управления» и 230201 «Информационные системы и технологии».

Предназначается для студентов и преподавателей.

Рецензенты: Л.Л. Пашина, доцент кафедры статистики и экономического анализа ДальГАУ, кандидат экономических наук, доцент Т.А. Макарчук, ст. преподаватель кафедры общей математики и информатики АмГУ, кандидат педагогических наук

© Амурский государственный университет, 2005 © Еремина В.В., 2005

Содержание

Введение....................................................................................................       4

Практическое занятие № 1. Случайные события....................................       5

Практическое занятие № 2. Комбинаторика................................................. 10

Практическое занятие № 3. Классическое, статистическое и геометрические определения вероятностей.................................................. 15

Практическое занятие № 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.................................................................................................. 18

Практическое занятие № 5. Условная вероятность................................      21

Практическое занятие № 6. Формула полной вероятности.

Формулы Бейеса.......................................................................................     24

Практическое занятие № 7. Независимые повторные испытания...........     27

Практическое занятие № 8. Дискретные случайные величины................... 35

Практическое занятие № 9. Непрерывные случайные величины...........      46

Практическое занятие № 10. Системы двух случайных величин..........      59

Список используемой литературы...........................................................     74

Приложение I. Контрольная работа........................................................      75

х²

Приложение II. Таблица значений функции <р(х) =   ,— е   ² ..............      95

л/2;г

1       X----------

Приложение III. Таблица значений функции ф(х) = —j^je   ² dz

96

Введение

Предмет теории вероятностей является одной из базовых дисциплин, необходимых для практической деятельности инженеров в областях информационных технологий и управляющих систем. Кроме того, понятия и математический аппарат данной области знаний используется в преподавании таких специальных дисциплин, как: «Надежность АСОИиУ», «Надежность ИС», «Моделирование систем» и т. п.

Предлагаемое учебное пособие содержит описание десяти практических занятий по разделу «Теория вероятностей» дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы», при этом четыре последних занятия разработаны в нескольких индивидуальных вариантах для самостоятельной работы студентов в группах. Каждое занятие содержит краткие теоретические сведения, а также вопросы текущего контроля знаний. Структура пособия включает в себя три приложения, первое из которых представляет собой пример контрольной работы.

Цель практикума заключается в формировании и закреплении навыков в вычислениях вероятности события, усвоении методики использования теорем при решении задач.

Практическое занятие №1 Тема: Случайные события

1. Случайное событие

Человека окружает мир событий. Он часто замечает такой факт: одни события при реализации данного комплекса условий непременно происходят, другие же могут произойти, а могут и не произойти.

Случайным событием называется такой исход наблюдения или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может не произойти.

2. Пространство элементарных исходов. Операции над событиями

Пространством элементарных исходов Q(«омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой со («омега») с индексами или без.

Событиями мы будем называть подмножества множества Q. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие A^Q, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество^.

Замечание. Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно все подмножества множества Д а лишь множества из некоторого набора подмножеств.

Пример 1. Один раз подбрасывается одна игральная кость (кубик). Самый разумный способ задать пространство элементарных исходов таков: Q= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, элементарные исходы здесь соответствуют здесь числу выпавших очков.

Примеры событий: А = {1, 2} - выпало одно или два очка, А = {1, 3, 5} - выпало нечетное число очков.

Пример 2. Два раза подбрасывается одна игральная кость (кубик). Или, что то же самое, один раз подбрасывается две игральные кости. Как мы увидим в дальнейшем, здесь самый разумный способ задать пространство элементарных исходов - считать результатом эксперимента упорядоченную пару чисел (i, j), в которой \<i,j<6 и i(j) есть число очков