Ответы на вопросы № 1-29 к зачету по дисциплине "Вычислительная математика" (Основные этапы численного решения задач. Интегралы от разрывных функций. Мультипликативный способ выделения особенностей)

1 Содержание предмета выч-ая мат-ка. Основные этапы численного решения задач   Вычислительная математика – это методы приближенного решения математических задач. Евклидова геометрия, механика Ньютона, теория элетромаг-го поля, построены на матем-ой основе и дают мощные вычислит-ые инструменты с точки зрения техники вычислений, матем-ка даёт в её распоряжение методы, которые условно можно разбить на 4-е группы:    1 Качественные методы(состоят из основных теорем алгебры)  2 Аналитические методы(формулы для решения) 3 Методы возмущений(связующее звено между аналит-ими и качест-ми)   4 численные методы;                                                                                                            Численные методы – это такие методы решения задач, которые сводятся или могут быть сведены к арифмет-им действиям над числами. Результаты полученные численными методами, должны совпадать с учётом точностивычислений в общей обл-ти действия методов – это хороший контроль правильности проведённых вычислений. К любой задачи следует подходить по принцепу сверху вниз: снчала матем-ая задача изучается качественными  методами, затем аналитическими, далее  методами возмущений, затем численными методами. Основные этапы развития:                       Решение прикланых задач с использованием вычислительной техники можно разбить на несколько этапов. 1 Физическая постановка задачи;                                                                                            2 Матем-ое моделирование (на этом этапе осущ-ся  выбор или построение  мат-ой модели описыв-ей соотв-ую физич-ую задачу.)   3 Выбор численного метода. Для решения задачи необходимо найти такой численный метод, позволяющий свести задачу к некоторому вычислительному алгоритму.                                                                                           4 Разработка алгоритма решения задачи. Алгоритм описывется, как полед-ть логич-их и арифмет-их операций. 5 Составление программ;  6 Исправление ошибок;                                                                                                                    7 Счёт. На этом этапе готовятся исходные данные для вариантов.                                          8 Анализ результатов.

2 Основные источники и классиф-ия погрешностей чис-го решения задач               Одним из основных вопросов, возникающих при численном решении задач, является оценка результата. Получение такой оценки усложняется, если в расположении исследователя нет эксперементальных данных. Источник возникновения погрешности можно проследить, следуя этапам численного решения: Во-первых – это погрешность,вносимая матем-ой  моделью задачи. Величина погрешности, вносимой в результат матем-ой моделью может вырасти, если в модели не учтены хар-ки изучаемого явленияю Исходные данные вносят свою долю в образование  погрешности результата. Эти источники погрешности называют неустранимыми погрешностями. Замечание : не следует стремиться к уменьшению погрешности одних данных, оставляя другие без изменения. Это приводит к выполненю точности результата. Во-вторых источником погрешности является численный метод. Погрешность численного метода может быть уменьшена до разных пределов за счёт изменения некоторых параметров задачи. Этот тип погрешности анализируется для каждого метода в отдельности. В – третьих в процессе реализации программы на ЭВМ, неизбежно возникают погрешности округления, вызванные разрядной сеткой ЭВМ, а именно огранич-стью разрядной сетки. Иногда бывает полезным, переходить к вычислениям с двойной точностью, это даёт возможность в предоставлении чисел держать приблизительно 17 десятичных разрядов после запятой.

            4 Неустранимая погрешность.                                                                                                                                                                                                                       

Разность Δ между точным числом  а  и его приближенным значением а^* называется ошибкой, или погрешностью данного приближенного числа. Абсолютной погрешностью приближенного числа а^* является Δа^* = ½ а - а^* ½.Поскольку чаще всего точное значение а неизвестно, для оценки приближения используют абсолютную погрешность, т.е. такую величину Δа^*, при которой ½ а - а^* ½£ Δа^* . Это равносильно тому, что значение заключено в пределах а – Δа^*£а £ а + Δа^*. Часто полученное неравенство, задающее область неопределенности точного значения а, записывают в виде: а^* = а ± Δа^*.Отметим, что абсолютная погрешность – величина размерная, имеющая размерность  приближенного числа а^*.

Пояснение.  Если а^* – расстояние, пробегаемое бегуном за тренировку и измеряемое в метрах (м), то абсолютнаяΔа^* – погрешность, с которой измерено расстояние, преодоленное спортсменом на тренировке, также имеет размерность в метрах. С помощью абсолютной погрешности можно отразить количественную, но не качественную сторону погрешности некоторого результата. Например,  расстояние, преодоленное прыгуном в длину, измерено с точностью 0,5 см. С такой же погрешностью измерена длина беговой дорожки стадиона. Очевидно, что второе измерение выполнено качественнее, чем первое.

Относительной погрешностью называется некоторая величина dа^*, удовлетворяющая условию  .

Относительная погрешность – величина безразмерная и используется для сравнения точности разномасштабных измерений (вычислений). Часто относительная погрешность вычисляется в процентах.

Пример 1. Определить, в каком случае качество вычислений выше:

а = 13/19 » 0,684; в =.  Решение. Сначала определим абсолютные погрешности чисел а и в. Для этого берем числа а и в с большим числом знаков 13/19 » 0,68421;  .

Определим абсолютные погрешности чисел, округляя их с избытком:

Δа^* = ½0,68421 – 0,684½ » 0,00022.

Δв^* = ½7,2111 – 7,21½ » 0,0012.

Далее определим относительные погрешности dа^* и dв.

Для относит-ой погрешности выполняется неравенство 

Обл-ть неопределённости для относит-ой погрешности имеет вид

а = а^*( 1± Δв^*)»1,25(1-0,02),   а^*= 1,25; Δв^*=0,02;

Сравниваяdа^*, и dв^*, видим, что качество измерений во втором случае  выше, чем в первом. При округлении десятичных чисел следует руководствоваться следующим правилом: если отбрасывается цифра меньше 5, то последняя оставшаяся цифра числа остается без изменения; если отбрасываемая цифра больше 5, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу; если отбрасываемая цифра равна 5, то округление происходит в соответствии с правилом четной цифры, т.е. последняя сохраняемая цифра не изменяется, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная. Например, округление числа 5,472 до сотых долей » 5,47, до десятых  » 5,5, до одной целой » 6. При округлении целого числа отброшенные знаки не следует заменять нулями, надо применять умножение на соответствующие степени 10. Например, 245 » 2,5*10² » 3*10².В основе процессов округления лежит идея минимальности разности числа а и его округленного значения а^*.

13 Вычислительная погрешность метода Гаусса. Выбор ведущего элемента исключения.

Методы исключения явл-ся точным методом. При этом предполагается, что арифм-кие операции выполняются над точными числами. Если же метод решается на ЭВМ, то появляется вычисл-ая погреш-ть, связанная с числом разрядов на ЭВМ для представления веществ-ых чисел, ошибками округления, реализацией на ЭВМ арифмет-их операций. Вычилит=ая погрешность метода исключения  может быть устранена в арифметике целых чисел путём введения масштабирования, чтобы избежать переполнения после выполнения арифмет-их операций. Если метод Гауса реализуется в арифметике вещест-ых чисел , уменьшение