Метод Крылова. Составление системы уравнений для определения коэффициентов характеристического многочлена

Федеральное агентство по образованию 

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

Амурский государственный университет

(ГОУ ВПО «АмГУ»)

Кафедра ИиУС

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

на тему: метод Крылова по дисциплине: Вычислительная математика вариант: 21

Исполнитель студент группы 855                                                                            В.И. Колотий

Руководитель доцент                                                                                                 И.М. Акилова

Благовещенск 2009

                                            Задание № 1.

Дано:

В качестве вектора  с₀ возьмем

1	1.9	12.3	102.092	865.3432
0	1.6	14.54	124.16	1055.4356
0	1.7	14.94	125.82	1064.2136
0	1.8	16.7	143.788	1225.8828

Тогда получим таблицу значений:

Составим систему уравнений для определения коэффициентов характеристического многочлена:

 

Решая систему методом Гаусса, найдем корни уравнения:

p₁= -13.6,    p₂= 50.66,    p₃= -64.66,   p₄= 22.844

Таким образом, характеристический многочлен примет вид:

Решаем полученное уравнение при помощи метода Ньютона, предварительно отделив корни. Находим:

Составим таблицу знаков функции D(λ):

λ	-∞	1	2	3	+∞
Sign D(λ)	+	-	+	-	+

Из таблицы видно, что уравнение имеет четыре действительных корня:

;  ;  ;  .

1. Уточним первый корень на промежутке, для этого вычислим значения функции D(λ) в некоторых точках промежутка:

Корень содержится внутри промежутка [0;1].

Уточнение корня производим методом касательных по формуле: .

Для выбора начального приближения λ₀ определим знак второй производной D”( λ)  в промежутке [0;1]; имеем D”( λ)= 12λ²-81.6 λ-101,32.

D”( λ)>0  при    , значит, λ₀=0

;  ; 

;   ;

;   ;

;   ;

;   ;

Следовательно, собственное число    .

2. Уточним второй корень на промежутке, для этого вычислим значения функции D(λ) в некоторых точках промежутка:

Корень содержится внутри промежутка [1;2].

Уточнение корня производим методом касательных по формуле: .

Для выбора начального приближения λ₀ определим знак второй производной D”( λ)  в промежутке [1;2]; имеем D”( λ)= 12λ²-81.6 λ-101,32.

D”( λ)<0  при , значит, λ₀=2

;  ; 

;   ;

;   ;

;   ;

Следовательно, собственное число .

3. Уточним второй корень на промежутке, для этого вычислим значения функции D(λ) в некоторых точках промежутка:

Корень содержится внутри промежутка [2;3].

Уточнение корня производим методом касательных по формуле: .

Для выбора начального приближения λ₀ определим знак второй производной D”( λ)  в промежутке [2;3]; имеем D”( λ)= 12λ²-81.6 λ-101,32.

D”( λ)<0  при , значит, λ₀=3

;  ; 

;   ;

;   ;

Следовательно, собственное число .

4. Уточним четвертый корень на промежутке [3;+∞), для этого вычислим значения функции D(λ) в некоторых точках промежутка:

Корень содержится внутри промежутка [3;+∞).

Уточнение корня производим методом касательных по формуле: .

Для выбора начального приближения λ₀ определим знак второй производной D”( λ)  в промежутке [2;3]; имеем D”( λ)= 12λ²-81.6 λ-101,32.

D”( λ)>0  при , значит, λ₀=8

;  ; 

;   ;

;   ;

;   ;

Следовательно, собственное число .

След матрицы: 1.9+2.9+3.9+4.9+1=13.6

Сумма собственных чисел: 0.5718+1.6078+2.9248+8.4956=13.6.

Задание №2.

Дано:

1.

Положим что

Подставим значения:

Собственный вектор матрицы определяется по формуле:

;                                  

Подставляя значения, находим

Произведём проверку:

       

2.

Положим что

Подставим значения:

Подставляя значения, находим

Произведём проверку:

         

3.

Положим что

Подставим значения:

Подставляя значения находим

Произведём проверку:

                 

4)

Положим что

Подставим значения:

Подставляя значения находим

Произведём проверку

                 

Собственные вектора матрицы А:

,,,