Задание на практическое занятие № 3 по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Задание для студентов на практическое занятие №3 по теме

«Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме

Вопросы теории ( исходный уровень)

1.Понятие об обыкновенных дифференциальных уравнениях.

2.Примеры составления и решения дифференциальных уравнений для медико-биологических задач (размножение бактерий, накопление и выведение лекарственных веществ, радионуклидов и т.п.).

Содержание занятия:

1.ответить на вопросы по теме занятия

2.решить примеры

Задачи и примеры

Выяснить, являются ли решениями данных дифференциальных уравнений, указанные функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Составив дифференциальные уравнения, решить задачи

1. Тело движется прямолинейно с ускорением а = 5 см/с². Начальная скорость тела v_o = 2 м/с. Вывести закон движения этого тела и вычислить путь, который оно пройдет за первые 10 мин движения.

2.Найти зависимость потенциальной энергии сжатой пружины от величины деформации.

Указание. Потенциальная энергия сжатой пружины равна работе силы F = Rx на пути от 0 до х.

3.Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. До какой температуры охладится тело за 30 мин, если за 10 мин оно охладилось от 100 до 60° С? Температура окружающей среды 20° С.

4.Уменьшение интенсивности света при прохождении через поглощающее вещество пропорционально интенсивности падающего света и толщине поглощающего слоя. Найти закон убывания интенсивности света, если известно, что при прохождении слоя l = 0,5 м интенсивность света убывает в два раза.

5.Найти закон убывания лекарственного препарата в организме человека, если через 1 ч после введения 10 мг препарата масса его уменьшилась вдвое. Какое количество препарата останется в организме через 2 ч?

6.Составить дифференциальное уравнение, описывающее движение математического маятника, считая, что углы отклонения маятника малы.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Понятие о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения используются при изучении явлений и процессов в физике, химии, биологии, медицине, фармации, астрофизике, кибернетике, социологии и других областях знаний. Сформулировав задачу на языке дифференциальных уравнений, специалист любой отрасли знаний получает в руки готовый аппарат для численного решения задачи, изучения качественных особенностей этого решения. Многие вопросы естествознания и техники сводятся к нахождению неизвестной функции у = f(x), если известно уравнение, содержащее х, у и производные разных порядков функции f(x): f¢(x), f¢¢(x), …, f⁽ⁿ⁾(x) или дифференциалы функции df, d²f, …, dⁿf. Такие уравнения называются дифференциальными.

Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению: установить закон изменения скорости  u свободно падающего тела массой т без учета силы сопротивления воздуха.

Согласно второму закону Ньютона,

где mg – сила тяжести.

Полученное уравнение является дифференциальным, так как в него входит производная du/dt искомой функции u. Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию u = f(t) , которая тождественно удовлетворяет этому уравнению. Легко проверить, что уравнению удовлетворяет функция вида u = gt + C, где С – любое число. Указав начальные условия, можно найти одну функцию, удовлетворяющую уравнению. Так, если при t = 0 u = u₀, то получим функцию u = u₀ + gt.

Существует много задач из различных областей знаний, решение