Методические указания по написанию контрольных работ по дисциплине "Математика". Часть I (Контрольные работы № 1-3: Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры. Матрицы и действия над ними)

чтобы оно было единственным, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы не равнялся нулю.

Таким образом, чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы не равнялся нулю определитель, в котором элементы столбцов есть координаты соответствующих векторов.

Пример 12. Определить, являются ли линейно независимыми векторы

Вычислим определитель, составленный из координат векторов a₁; a₂; a₃:

Так как Δ ? 0, данная система векторов — линейно независима. Если система векторов оказывается линейно зависимой, то в ней можно выделить линейно независимую часть векторов.

Линейно независимая часть системы векторов называется базисом этой системы. Число векторов в базисе системы называется рангом системы. (Ранг обозначают символом r.)

Пример 13. Найти базис системы векторов , , .

Составим векторное уравнение

 .

Решим это уравнение методом Гаусса:

Таким образом, получим

 .

Базис системы векторов  составляют векторы a₂, a₃, хотя им могла быть и любая другая пара линейно независимых векторов данной системы. Ранг этой системы .

Условия совместности и определенности системы линейных уравнений

Рассмотрим систему n линейных уравнений с s неизвестными. В векторной форме она имеет вид (7). Сформулируем условия совместности и определенности системы (7).

1. Система (7) совместна тогда и только тогда, когда ранги систем векторов  и  совпадают.

2. Если ранг системы  равен числу неизвестных в системе (7), то есть , система имеет единственное решение.

3. Если ранг системы  меньше числа неизвестных , система имеет бесконечное множество решений.

Общее решение системы линейных уравнений в векторной форме

Пусть вектор k есть общее решение системы n линейных уравнений с s неизвестными. Это решение может быть представлено в форме

,

где  — какое-либо частное решение неоднородной системы уравнений.

— так называемая фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений, то есть исследуемой системы, в которой свободные члены полагаются равными нулю.

Общие свойства решения системы однородных линейных уравнений:

1) система всегда совместна (Напомним, что всегда есть решение , причем это решение единственное, если определитель системы Δ ? 0. Если Δ = 0, система имеет бесконечное множество решений.);

2) сумма двух ненулевых решений есть также решение; произведение решений на любое число есть решение; таким образом, линейная комбинация нескольких решений есть также решение.

Бесконечное множество решений целесообразно упорядочить. Для этого из множества решений системы однородных уравнений следует выделить систему линейно независимых решений. Эта система и будет фундаментальной системой решений однородных уравнений.

Определение. Фундаментальной системой решений называется совокупность векторов ,  являющихся линейно независимыми решениями системы однородных уравнений, через которые линейно выражается любое другое решение этой системы; при этом

,

где  — любые числа.

Алгоритм построения фундаментальной системы решений:

1. Находят общее решение системы однородных уравнений.

2. Берут систему  — каких-либо линейно независимых векторов размерности . Например, e₁ = (1; 0; ...; 0); e_s–r = (0; 0; ...; 1).

3. По общему решению находят значения разрешенных неизвестных, подставляя сначала вместо свободных