Определение значений функции y(x) на отрезке a ≤ x ≤ b при заданных условиях (Теоретическая часть)

Используя команду рисования точки, выводим кривую на экран.

·  Для проверки правильности построения на экран выводятся узлы интерполяции и значения в этих узлах.

1.2. Аппроксимация функции

Постановка задачи:

Дан набор точек на плоскости (x_i, y_i), i = 1, …, n. Необходимо найти прямую, наименее уклоняющуюся  от этих точек. Запишем уравнение прямой в следующем виде  y = ax + b.

Задача состоит в поиске неизвестных коэффициентов a и b, которые минимизируют сумму квадратов расстояний между проекциями точек  (x_i, y_i) на эту прямую вдоль оси OY.

То есть, находится минимум выражения

Для этого приравнивают к нулю частные производные  и ,  получают формулы для нахождения неизвестных коэффициентов

 (*)

 (**)

Алгоритм:

·  В программе задаются функции х(i) и y(i).

·  В цикле вычисляются значения сумм из формул (*) и (**).

·  Затем находим коэффициенты a и b по формулам (*) и (**).

·  Составляем формулу прямой y=ax+b.

·  Выводим на экран полученное уравнение прямой y=ax+b.

·  При построении прямой y=ax+b выполняем масштабирование.

·  В стандартном режиме ширина экрана 640 точек, нам необходимо разбить его на отрезок [-5; 5].

·  Задается шаг h, с которым мы будем перемещаться от левой границы интервала до правой при построении графика.

·  В цикле определяем значения x и y для этой прямой, а также увеличиваем значении по x на заданный шаг h.

·  Используя команду рисования точки, выводим прямую на экран.

1.3. Методы поиска точек экстремума функции на отрезке

Пусть дана функция f (x), для которой на заданном отрезке [a; b] нужно найти максимальное значение  или минимальное значение и установить, в какой точке x^*это экстремальное значение достигается.

1.3.1. Метод золотого сечения

Точки x₁, x₂ находятся симметрично относительно середины отрезка [a₀, b₀] и делят его в пропорции золотого сечения, когда длина всего отрезка относится к длине большей его части также, как длина большей части относится к длине меньшей части:

и .

Отсюда:

За одну итерацию интервал неопределенности уменьшается в  раз, но на следующей итерации мы будем вычислять функцию только один раз, так как по свойству золотого сечения  и . Для достижения точности ε потребуется  итераций.

Алгоритм:

·  Необходимо выделить интервал, на котором будет происходить исследование на нахождение точки экстремума.

·  По графику определяем приблизительные границы этого интервала.

·  С помощью цикла определяются координаты точки экстремума (в нашем случае точки максимума).

·  Для ее локализации на графике рисуем окружность небольшого радиуса с центром в точке экстремума.

1.4. Численное интегрирование

Пусть требуется найти интеграл вида

, где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a,b].

Геометрически, этот  интеграл  равен площади под графиком функции f(x).

     y

          0      abx

Задачей численного интегрирования является построение формул (квадратурные формулы), которые приближённо равны точному значению интеграла. Рассмотрим простейшие квадратурные формулы

Формула трапеций

 – формула трапеций

Алгоритм:

·  Задаем интервал, на котором будем проводить интегрирование, для этого левой границе присваиваем значение координаты х точки пересечения графиков, а правой – координату х точки экстремума.

·  Задается начальное кол-во разбиений и точность вычисления.

·  Затем в цикле происходит вычисление шага, с которым надо двигаться при проведении интегрирования, увеличивается кол-во разбиений (на каждом шаге в 2 раза), и, наконец, вычисляются значения интегралов (точное и приблизительное).

·  На экран выводятся точное, приблизительное значения, их разность