Три теоремы о свойствах счетных множеств. Арифметические свойства пределов бесконечно малых. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел

непрерывные производные на (a,b) f(x) = f(0)(x), f(1)(x),¼) в интервале (a,b) и х Î (a,b). Воспользуемся многочленом Тейлора P_n(x)=  f^k(x0)дробь… k! (x- x0) степени  n, n ≤ N.

Многочлен Рn(х) можно рассматривать как  приближение (аппроксимацию) данной функции. Обозначим через Rn(х) соответствующую ошибку (так называемый остаточный член), тогда будем иметь f(x) =  Рn(х) + Rn(х).

Покажем, что при х  х0 остаточный член Rn(х) будет бесконечно малой порядка выше n.=

Очевидно, что имеем неопределенность вида 0/0. Применяя правило Лопиталя последовательно n раз и учитывая непрерывность производной f⁽ⁿ⁾(x), находим  ==0

Следовательно, Rn(х)=о[(х-х0)n].

Таким образом, мы получим локальную формулу Тейлора: f(x)= f^k(x0)/ k! (x- x0)^k + o[(x-x0)ⁿ]

13.Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функ-ции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

(∫f(x)dx)=f(x) и d(∫f(x)dx)=f(x)dx

Пусть ∫f(x)dx=F(x)+C. Тогда (∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)=f(x) и

d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C=d(F(x))=f(x)dx

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.

∫dF(x)=F(x)+c

Действительно, так как dF(x)=F’(x)dx, то ∫F’(x)dx=F(x)+C

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

∫af(x)dx=a∫f(x)dx]

Действительно, пусть F(x) – первообразная функция f(x):F’(x)=f(x). Тогда aF(x)-первообразная функции af(x):(aF(x))’=a(F’(x))=af(x). Отсюда следует, что

a∫f(x)dx=a(F(x)+C)=aF(x)+C1=∫af(x)dx, где C₁=aC

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функ-ций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

∫(f₁(x)+f₂(x)+…f_n(x))dx=∫f₁(x)dx+∫f₂(x)dx+…+∫f_n(x)dx

Доказательство проведем для случая двух функций. Пусть F(x) и Ф(x)-первообразные функций f₁(x) и f₂(x): F’(x)=f₁(x),  Ф’(x)=f₂(x). Тогда функции F(x) ±Ф(х) являются первообразными функций f₁(x) ±f₂(x). Следовательно,

∫f₁(x)dx±∫f₂(x)dx=(F(x)+C₁) ±(Ф(х)+С₂)=(F(x) ±Ф(х))+(C₁+C₂)=(F(x) ±Ф(х))+C=∫f₁(x)+f₂(x))dx

5.Если F(x) первообразная функции f(x), то

∫f(ax+b)dx=1/a*F(ax+b)+C

Действительно (1/a*F(ax+b))’=1/a*F’(ax+b)=f(ax+b)

6. ( инвариантность формул интегрирования) Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференци-рованной функцией от этой переменной:

∫f(x)dx=F(x)+C=>∫f(u)du=F(u)+C, где u-дифференцируемая функция

Воспользуемся свойствами инвариантности формы дифференциала первого порядка: если dF(x)=F’(x)dx=>dF(u)=F’(u)du, где u-дифференцируемая функция.

Пусть ∫f(x)dx=F(x)+C=>F’(x)=f(x)

Докажем, что ∫f(u)du=F(u)+C. Для этого найдем дифференциал от левой и правой частей последнего равенства:

d(∫f(u)du)=f(u)du и d(F(u)+C)=F’(u)du=f(u)du

из равенств этих дифференциалов и следует свойство 6

14.Свойства определенного интеграла

1)Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю

Данное свойство следует из определения определенного интеграла (∆x_k=0)

2) Если f(x)=1, то ^b_a∫dx=b-a

(Д-во) При f(x)=1 

3)При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный^b_a ∫f(x)dx= - ^b_a ∫f(x)dx

Интеграл ^b_a ∫f(x)dx был определен для случая, когда a<b. Если же a>b, то все множители ∆x_k, входящие в интегральную сумму будут иметь противоположный знак

4)Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

(д-во)

5)Определенный  интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a;b] функций f₁(x), f₂(x)…..f_n(x)  равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых

Доказательство этого свойства аналогично , доказательству предыдущего свойства

6)( аддитивность определенного интеграла) Если существуют интегралы ^с_a∫f(x)dx  и ^b_c∫f(x)dx, то существует также интеграл ^b_a∫f(x)dx  и для любых чисел a, b, c  ^b_a∫f(x)dx=^c_a∫f(x)dx+^b_c∫f(x)dx

(док-во) Предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на частичные отрезки и от выбора точек ξ_k. Это позволяет включить точку с в число точек разбиения. Пусть с=x_m т.е.  Тогда

Переходя к пределу при max{∆x_k}=λ→0, получаем ^b_a∫f(x)dx=^c_a∫f(x)dx+^b_c∫f(x)dx

7) Если f(x)≥0 ∀x∈[a;b], то ^b_a∫f(x)dx≥0, a<b

(док-во) Так как f(ξ_k)≥0  и ∆x_k≥0, то интегральная сумма переходя к пределу получаем неравенство

8)(монотонность определенного интеграла) Если интегрируемые функции f(x)  и ф(х) («фи от икс») удовлетворяют неравенству f(x)≥ф(x) , то

 Так как f(x)-ф(x)≥0  то согласно свойствам 5 и 7

9)(об оценке определенного интеграла) если m и M соответственно