Информатика: Методические указания к расчетно-графическому заданию

Методические указания к РГЗ

Часть 2

1.  Требования

Прежде, чем оформлять пояснительную записку по РГЗ Вы должны продемонстрировать работающую программу преподавателю. Оформленная записка сдается преподавателю на проверку, и после проверки защищается. Пояснительная записка  должна содержать:

·  титульный лист установленного образца;

·  задание;

·  схемы алгоритмов всех функций;

·  текст программы с комментариями;

·  результаты работы программы для разных  точностей вычисления;

·  выводы.

Небрежно оформленное РГЗ  на проверку не принимается!

2.  Замечания, практические советы

1.  Ваша программа должна состоять из функции main() и четырёх пользовательских функций, которые вы создадите в процессе работы над РГЗ. Это подынтегральная и первообразная функции и функции вычисления интеграла методом Ньютона - Котеса и Гаусса. Первообразная функция нужна вам для проверки правильности вычисления интеграла приближенными методами.

2.   Обмен между функциями можно производить только через аппарат формальных/фактических параметров. В качестве глобальной переменной можно использовать только количество обращений к подынтегральной функции.

3.  Все применяемые функции, а также их параметры (аргументы) должны иметь тип double.

4.  Для сокращения записи целесообразно использовать инструкцию typedef в виде:

5. 

В качестве аргумента функции может использоваться другая функция. Например, назовём  функцию для вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона – Котеса при n=4 nyut_k_4(). Запишем фрагмент  этой функции (один из вариантов)

Здесь a,b – нижний и верхний пределы интегрирования, f() – подынтегральная функция, eps – заданная точность вычисления интеграла. Обращение к функции nyut_k_4() может иметь вид:

nyut_k_4 (1.2, 2.4, fun, 0.0001);

Естественно, что  к моменту  обращения к функции nyut_k_4() функция fun() должна быть определена, например, если подынтегральная функция  f(x)=sin² (x), то функция fun() запишется так:

3.  Методические указания к методу Ньютона – Котеса

Для вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона – Котеса для любых значений n   следует    промежуток интегрирования [a,b]  разделить на k равных частей и для каждой части, применив выбранную (заданную) квадратурную формулу, определить её  площадь. После суммирования этих площадей Вы и получите значение интеграла.

Пусть n=2, а k=2, т.е. промежуток интегрирования [a,b] делится на две равные части  

 Int.                                          (1)

Применяя к каждому интегралу в правой части (1) квадратурную формулу 

, для n=2, получим

Int »

Т.к. Н₀=Н₂, то

           Int»

Распространим последнее  выражение на случай произвольных  n и k

,                                                          (2)

где j = 1, 2, …,n, 1, 2, …n, 1, 2, …;.

Для реализации выражения (2) на языке С++ необходимо набор коэффициентов  (коэффициент H₀ в этот набор не входит! ) оформить в виде массива, не забывая, что индексы массива начинаются с нуля. Если вычислять индексы элементов  массива Н[j] по формуле j=(i-1)%n , то они будут меняться с нужной периодичностью, т.е. 0, 1, 2, …., n-1, 0, 1, 2, ….,n-1, 0…  .

Таким образом, при n =2 массив Н[j] примет вид (см. табл.3 методических указаний ):

H[2] = {4./6, 2./6}, H0=1./6 или H[2] = {0.6666667, 0.3333334} и H0=0.1666667 (обратите внимание, что элемент H[1] мы увеличили в два раза!) , а j примет значения 0, 1, 0 (см. рис.1).

4.  Методические указания к методу Гаусса

Реализация этого метода на языке С++ не вызывает у студентов особых трудностей. Однако на этапе оформления методических указаний, которыми Вы пользуетесь, в общую формулу Гаусса  (14) вкрались опечатки. В тексте, который приведён ниже, они устранены.  

,                                                                             (3)

где h=(b-a)/k – шаг интегрирования;

- i-ая абсцисса j-ого шага интегрирования:  x₀ = a, x_j=x_j-1+h, j=1,2,…,k;

=x_j-1+X_ih , i=1,2,…, n;

X_i, A_i – абсциссы и коэффициенты формулы Гаусса (табл. 4 мет. указаний).

5. Структура программы

Прототипы функций.

Подынтегральная функция

Первообразная функция

Функция вычисления интеграла методом Гаусса для n = 4

Функция вычисления интеграла методом Ньютона-Котеса  для n = 4

voidmain ()

    {

Описание типов переменных, открытие файла для добавления (запись в конец файла).

Вычисление интеграла через первообразную (точное значение интеграла).

Введение с клавиатуры требуемой точности вычисления интеграла.

Вычисление интеграла методом Гаусса при n = 4

Обнуление количества обращений к подынтегральной  функции

Вычисление интеграла методом   Ньютона - Котеса  при  n = 4.

Вывод результатов  на экран и запись в файл.

        }

Определение  всех  функций (их содержание).

6. Примеры прототипов используемых функций

typedef double D; // Даёт  типу данныхdouble новое имя D.

long int  kf; // kf – к-во обращений к подынтегральной функции (глобальная переменная)

D fun(D x); // Подынтегральная функция. Одним из операторов этой функции будет kf++;

D perv_obr(D x); //  Первообразная функция

// Функция вычисление интеграла методом Гаусса для n=4

D gauss_4(D a, D b, D f(D), D eps);

// Функция вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса для n=4

D  nyut_k_4( D a, D b,D f(D), D eps);

Здесь x – аргумент подынтегральной функции a,b – нижний и верхний пределы интегрирования,f()- подынтегральная функция, eps – точность вычисления интеграла. Это формальные параметры. При обращении к функции (её вызове) они заменяются на фактические (см. разд. 7)

7. Обращение к функциям (их вызов)

voidmain()

{

……………………………………………………………….

int_toch = perv_obr(v_pred)-perv_obr(n_pred;// Точное значение интеграла

…………………………………………………………………..

prib_gauss = gauss_4(n_pred, v_pred, fun, prec);

………………………………………………………

prib_nyut = nyut_k_4(n_pred, v_pred, fun, prec );

//Здесь n_pred, v_pred, fun, prec –соответствующие фактические параметры (нижний и верхний пределы, подынтегральная функция и точность)

//  Точность prec вводится с клавиатуры

……………………………………………………………

}

8. Распечатка файла, содержащего результаты работы программы

Точное значение интеграла = 1.370119928

Требуемая точность вычисления  интеграла = 0.10000000

Гаусс для    n = 4 Интеграл = 1.370020242  К-во обращений 24

Ньютон-К для n = 4 Интеграл = 1.371414377  К-во обращений 26

Выйгрыш Гаусс4 к Ньютон4 = 1.08333

______________________________________________________

Точное значение интеграла = 1.370119928

Требуемая точность вычисления  интеграла = 0.01000000

Гаусс для    n = 4 Интеграл = 1.370020242  К-во обращений 24

Ньютон-К для n = 4 Интеграл = 1.370184616  К-во обращений 59

Выигрыш Гаусс4 к Ньютон4 = 2.45833

______________________________________________________

Точное значение интеграла = 1.370119928

Требуемая точность вычисления  интеграла = 0.00100000

Гаусс для    n = 4 Интеграл = 1.370117696  К-во обращений 56

Ньютон-К для n = 4 Интеграл = 1.370121830  К-во обращений 124

Выигрыш  Гаусс4 к Ньютон4 = 2.21429

9. Схема алгоритма метода Ньютона – Котеса

10. Схема алгоритма метода  Гаусса