Моделирование движения медного шарика в воздухе и воде с учётом силы сопротивления

Цель работы: Cмоделировать движение тела в среде с учётом силы сопротивления.

1.  Постановка задачи:

Промоделировать падение медного шарика радиусом R=1,5 см с высоты H=35м, если сила сопротивления среды пропорциональна квадрату скорости (использовать формулу гидродинамического сопротивления).

Задание:

1.Определить время падения  и  построить зависимость скорости от времени V(t), если среда – воздух.

2.Проделать  то же, если среда – вода.

          Описать математическую модель, алгоритм численного решения, программу. Провести анализ результатов.

2.  Математическая модель

 

F_тяж+F_А+ F_г.с=ma;

F_тяж =mg ;    

F_A=gV_Tρ_ср ;

F_г.с=СSV²ρ/2.

·  Среда – воздух. В данном случае сила Архимеда ничтожно мала и ей можно пренебреч.( F_A= 0)

F_тяж + F_г.с = ma;

mg -  СSV²ρ_ср/2 = ma;

a = g - 8CV²ρ_ср/3ρ ρ^I;                                

где:

·  Среда – вода.

ma = mg - СV²ρ_ср/2 - gρ_ср/ ρ ;                              

a = g - C ρ V²ρ_cp/2ρ^I - gρ_ср/ρ^I;

ρ_ср=1000кг/м³  - плотность среды

3.  Алгоритм численного решения:

{ 

Используя разностный шаговый метод Эйлера, получим:                          

{

4.  Программа:

Program shar;

const

h0=35;   s=0.002826;

p=8930;   p1=1.29;

c=0.1;   dt=0.001;

g=9.81;   w=0.00001413;

var

t,h,v,a:real;

f:text;

begin

assign(f, 'out.txt');

rewrite(f);

t:=0;

v:=0;

h:=h0;

repeat

t:=t+dt;

a:=(-0.5*c*s*p1*(v*v)/p)+g;

v:=v+a*dt;

h:=h-v*dt;

writeln('t:= ',t:0:4,'h:= ',h:0:4,'v:=',v:0:4);

until h <=0;

end.

program water;

const

  h0=35;   s=0.002826;

  p=8930;   p1=1000;

  c=0.1;   dt=0.001;

  g=9.81;   w=0.00001413;

var

t,h,v,a:real;

f:text;

begin

assign(f, 'out.txt');

rewrite(f);

t:=0;

v:=0;

h:=h0;

repeat

t:=t+dt;

a:=g-p1/p*g-c*s*p1*v*v/(w*p*2);

v:=v+a*dt;

h:=h-v*dt;

writeln(f,'t:= ',t:0:4,'h:=',h:0:4,'v:=',v:0:4);

until h<=0;

end.

5.  Анализ результатов:

В первом случае, когда шарик падал в воздухе, результат получился следующий: время падения  t =2.7c, скорость в момент приземления   V =34.8м/c.

Во втором случае, когда шарик летит в воде, получаем:

время падения  t=7,2с, скорость в момент приземления V =3.2м/с.

6.  Вывод:

При моделировании падения шарика в воде большое значение имеет архимедова сила выталкивания тела. При среде воздух, силу Архимеда можно не учитывать.