Синтез систем адаптивного управления на основе метода вектора скорости. Расчет и анализ свойств многоканальной адаптивной системы. Определение структуры адаптивного регулятора, страница 2

, где , полная производная по времени которой имеет вид  здесь использованы следующие обозначения   . Из условия  выбираем , т.е. , а . Если  для любого момента времени, то производная рассматриваемой функции будет отрицательно определенной (). С учетом (4.2), получаем следующие условия на значения элементов матриц и g:

       (4.6)

            (4.7)

причем элементы  - зависят от рассогласования между соответствующими компонентами векторов a и k, (). Таким образом, величина λ_i определяется, в основном, координатными (ε_i)  и параметрическими рассогласованиями.

С помощью функций Ляпунова также определяется оценка времени сходимости  процессов к желаемой траектории. Основная идея способа изложена в [28, 31]. В [32] показано, что время сходимости процессов в системе стабилизации с производными в законе адаптивного управления конечно и зависит от координатных и параметрических рассогласований в начальный момент времени, а также от коэффициента передачи адаптора. Требуемые оценки координат состояния и элементов вектора  могут быть получены с помощью линейного фильтра оценки производных (или наблюдателя  состояния) [7].

Пример 4.1.  Выполним расчет двухканальной адаптивной системы. Пусть динамика объекта описывается уравнениями:

где - неизвестные переменные, а -постоянные коэффициенты, i ≠ j.

Определение параметров эталонной модели осуществляется по желаемым корням характеристического полинома, область допустимого расположения которых вычисляется на основе показателей качества переходного процесса (перерегулирования -  , времи переходного процесса по каналам - , величине установившейся ошибки - ):

где параметры  имеют следующие значения:  ; ;   – входные воздействия. Тогда уравнения замкнутой системы, полученные в соответствии с изложенной методикой, имеют вид:

                           (4.8)

где a_i^* - коэффициенты эталонной модели.  На рис. 4.1, 4.2 показаны процессы, наблюдаемые в системе при постоянных входных сигналах и следующих значениях параметров системы: , , параметрические возмущения заданы вида . Воздействие на вход системы импульсными сигналами приводит к процессам, представленным на рис. 4.3 – 4.6. Нетрудно увидеть, что переходные процессы удовлетворяют заданным показателям качества. При этом наблюдается ограниченное по амплитуде управляющее воздействие в каждом канале. В начальный момент времени отсутствуют «выбросы» выходных переменных регулятора, превышающих среднее значение  амплитуды колебаний. Разнотемповость движений хорошо заметна на проекции фазового портрета в трехмерном пространстве (y₁, y₂, s₁) (рис. 4.5). Из начальных условий изображающая точка движется вдоль оси s₁()  при постоянных значениях y₁,  y₂.  Затем, начиная с некоторого момента времени, когда s₁ достигнет нулевого значения, изображающая точка переходит на плоскость (y_1,y₂).

Влияние нелинейного звена иллюстрируется на рис. 4.7, 4.8. Сравнение выходных процессов адапторов позволяет говорить о том, что  использование sgn(x) (рис. 4.7) приводит к увеличению амплитуды выходного сигнала в течение первых двух секунд. Это обусловлено нулевым значением входного воздействия по первому каналу. Так как , где , то функция  остается положительной и равной . Если производная постоянна, то  , где  – переменная времени. Следовательно, является монотонно возрастающей функцией.

Увеличение частоты и (или) амплитуды параметрического возмущения приводит к необходимости увеличения коэффициента передачи адаптора: , в частном случае, когда параметры объекта изменяются по гармоническому закону, должно выполняться неравенство: .       

Замечание: Введение нелинейного звена с релейной характеристикой в адаптор позволяет добиться дополнительных «форсирующих» свойств при ненулевых начальных условиях в контуре настройки коэффициентов регулятора;

расчет параметров регулятора выполнен с учетом известных оценок темпа возмущений, что упрощает настройку адаптора;

алгоритмы адаптации (4.5), (4.7) можно получить на основе дифференциальной формы алгоритма скоростного градиента при соответствующем выборе функции цели;

желаемое качество выходных процессов  обеспечивается при нулевых начальных условиях;

система сохраняет устойчивость независимо от ограниченных возмущений из заданного множества, координатных и параметрических начальных рассогласований в системе;

целесообразность использования рассмотренного класса адаптивных систем обусловлена жесткими требованиями к динамическим свойствам систем при существенной нестационарности характеристик объектов управления; также как в системах, рассмотренных в гл. 3 , качество работы в большей степени зависит от амплитуды и в меньшей степени – от частоты параметрических возмущений. Выбором коэффициентов передачи адаптора и блока желаемой динамики удается выполнить заданные требования по качеству переходных процессов.

Рис. 4.1.

Рис. 4.2.