Соединение “звеньев” и свойства. Взаимно связанные системы, замкнутость, разомкнутость, хорошая устроенность полиномиального матричного описания, страница 2

                                                                 ,                                                            (в)

                                                                   .                                                             (г)

Подставим (в) в (б): , откуда . Если воспользуемся формулой (г), получим: .

$29.  Показать, что передаточная функция  равна

.

Воспользуйтесь соотношениями из S119 и рисунком S112.

S120.  Рассмотрим две передаточные функции замкнутой системы

и

, т. е. мы рассматриваем систему, изображенную на рисунке, приведенном в S112. Пусть эта система удовлетворяет предположениям ВС, ХУ и ХУМПО. Тогда  хорошо устроены.

Доказательство. Покажем, что  - правильная. Из S118 следует, что  хорошо устроена, т. е. левое-правое разложение  внутренне правильное. Из S111 можем утверждать, что D раскладывается в произведение , где  - полиномиальная столбцово приведенная матрица,  - биправильная матричная передаточная функция,  - полиномиальная строчно приведенная матрица. Матрицу G можем преобразовать так:

.

В S111 утверждается, что

                                                        ,  -                                                     (а)

правильные передаточные функции, а так как  биправильная, то G правильная. Но , что следует из (а) S119. Тогда

                     .                (б)

Рассмотрим выражение

                                                         .                                                    (в)

Здесь  - биправильная, ,  - правильные матрицы. Следовательно, это выражение правильное. Но  и  правильные, следовательно достаточно рассмотреть правую часть (б), чтобы увидеть, что правильная. Из D_g = D – N_lFN_r видно, что D_g правильное. Таким образом, D_g^-1  биправильное.

          Можно показать, что

.

Неравенство нулю выполняется ввиду биправильности  и .

          Используя (б), найдем :

.

где  - правильное (а),  - правильное (б). Так как  - правильное (а), то и  правильное, следовательно,  - правильное выражение.

          Аналогично, используя (б), найдем :

.

Рассуждая аналогично, увидим, что  - правильное. Таким образом, передаточные функции  из рисунка S112 - правильные. На основании этого можем утверждать, что система ХУ.

S121.  Пусть полиномиальное матричное описание системы S112 “вход-выход” удовлетворяет всем предположениям: ВС, ХУ, ХУМПО. Тогда  хорошо устроено, а D_yu не имеет неустойчивых скрытых мод.

При данных условиях S118 D_yе не имеет скрытых мод в , что равносильно условиям S116, S117:

                                                  ,                                             (а)

                                                 .                                          (б)

Так как , то  можно записать так:

                                               .                                           (в)

Из (в) с учетом (а) следует, что

                                                .                                             (г)

Аналогично можем получить

,

и если учтем (б), то очевидно

                                                .                                           (д)

Из (г) и (д) следует, что  не имеет в  развязанных нулей.

$30.  Пусть система  - ВС, ХУ, ХУМПО. Дано . Тогда:

1)   D_eu хорошо устроено;

2)  следующие утверждения равносильны:

i)  D_eu не имеет скрытых мод;

ii)  D_eu не имеет в  выходных развязанных нулей. Это записывается так: .

S122.  Дана система (кратко ), удовлетворяющая условиям ВС, ХУ, ХУМПО. Пусть  - правильные и дано . Справедливо:

1)  следующие утверждения равносильны:

i)   - экспоненциально устойчива,

ii)   - экспоненциально устойчива,

iii)  ;

2)  пусть D_eu не имеет выходных развязанных нулей в , что эквивалентно:

,

тогда следующие утверждения эквивалентны:

i)   - экспоненциально устойчива,

ii)   - экспоненциально устойчива, что равносильно .

S123.  Из S122 и того, что собственные значения системы D состоят из развязанных нулей и полюсов передаточной функции , можно сделать вывод:

.

При этом  и  полиномы такие, что:

1)  ;

2)   - развязанный нуль D_yu;

3)  .