Аппроксимация кривой намагничивания сердечников магнитопроводов преобразовательных устройств

УДК 621.316.176

Аппроксимация кривой намагничивания сердечников магнитопроводов преобразовательных устройств

Воробей А. М.

Научный руководитель СОНЧИК Л. И., кандидат технических наук, доцент

Намагничивание сердечников электромагнитных устройств сопровождается сложным комплексом явлений, одним из которых является необратимое изменение намагниченности ферромагнетика, выражающееся в неоднозначной зависимости между величинами, характеризующими его магнитное поле [1]. В качестве таких характерных величин в данной работе приняты индукция и напряженность магнитного поля.

При установлении связи между индукцией и напряженностью магнитного поля следует пользоваться семейством динамических частных циклов, наиболее полно отражающих истинную картину поведения ферромагнетика в переменных магнитных полях и обеспечивающих точность расчетов при их применении [2].

В некоторых случаях расчетов электромагнитных устройств возможна замена неоднозначной зависимости между индукцией и напряженностью магнитного поля однозначной кривой намагничивания. При этом важным вопросом аналитического представления характеристик намагничивания сердечников из ферромагнитных материалов является выбор типа кривой намагничивания.

При исследовании различных электромагнитных устройств, в том числе и преобразователей частоты, часто используется основная кривая намагничивания, являющаяся геометрическим местом вершин установившихся симметричных петель гистерезиса [3].  Однако более оправданным при выборе однозначной зависимости между индукцией и напряженностью магнитного поля для расчетов преобразовательных устройств является применение средней кривой намагничивания, отличающейся от основной кривой отсутствием начального изгиба и располагающейся ближе к оси ординат на координатной плоскости.

Широкое распространение основной кривой намагничивания объясняется ее большей доступностью, наличием в различных справочниках [4], в то время как при получении средней кривой намагничивания обнаруживаются трудности, заключающиеся в необходимости экспериментального определения семейства петель гистерезиса для ее построения, что является трудоемким процессом.

Однако аппроксимация основной кривой намагничивания может привести к принципиально ошибочным результатам, в особенности, если использовать аппроксимацию начального участка основной кривой намагничивания [5]. Поэтому некоторые авторы рекомендуют при аналитических расчетах аппроксимировать «среднюю» кривую намагничивания, а еще лучше – семейство «средних» кривых намагничивания.

Кривую намагничивания можно легко аппроксимировать, зная информацию о гармоническом спектре кривой тока. Однако для этой цели требуется специальное оборудование – анализатор гармоник тока. 

В данной работе решена задача аппроксимации кривой намагничивания сердечника, если известна вольтамперная характеристика индуктивной катушки для действующих значений.

Выберем в качестве выражения, аппроксимирующего кривую намагничивания для мгновенных значений, гиперболический синус, который часто используется при аналитическом расчете цепей, содержащих катушки с ферромагнитными сердечниками:

                                                                (1)

где  и - мгновенные значения напряженности магнитного поля и мгновенной индукции;  и  - коэффициенты аппроксимации.

Найдем действующее значение напряженности магнитного поля:

                                                           (2)

Откуда с учетом выражения (1):

                                             (3)

Учитывая известное соотношение:

                                                 (4)

Таким образом:

.                                           (5)

Пусть магнитная индукция изменяется по закону:

                                                           (6)

Тогда, учитывая формулу разложения гиперболического косинуса от его аргумента в ряд Фурье в выражении (5) и, выполняя интегрирование, получим:

                                         (7)

где - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

Коэффициенты аппроксимации могут быть определены по двум характерным точкам кривой намагничивания. Подставляя координаты этих точек в выражение (4), получим систему двух уравнений:

                                    (8)

Из этой системы уравнений находим коэффициенты аппроксимации.

Так, разделив первое уравнение на второе, получим:

                                         (9)

Учитывая, что:

окончательно получим:

.                                                           (10)

Используя приближенные приемы вычислений, находим из (9) коэффициент .

Коэффициент  находим из (8):

                          (11)

где и ,  и - находятся по вольтамперной характеристике для действующих значений.

В настоящей работе разработан и другой простой метод аппроксимации «средних» кривых намагничивания, устраняющий некоторый произвол в выборе рабочей точки аппроксимирующей кривой и также не требующий предварительного определения петель гистерезиса. Метод основан на измерении двух характеристик катушки с ферромагнитным сердечником: вольтамперной характеристики по действующим значениям и вольтамперной характеристики по амплитудным значениям.

Выберем в качестве выражения, аппроксимирующего «среднюю» кривую намагничивания, выражение (1).

При синусоидальном законе изменения магнитной индукции:

действующее значение напряженности поля можно определить извыражения:

.                                        (12)

Амплитуда напряженности магнитного поля связана с амплитудой магнитной индукции соотношением:

                                                     (13)

Решая систему уравнений (11) и (13) находим коэффициенты аппроксимации.

Так, коэффициент  находится из выражения:

.                                         (14)

С учетом найденного значения  коэффициент  определяется из выражения (13):

.                                                             (15)

или выражения (12):

.                                                            (16)

Амплитудные значения индукции и напряженности магнитного поля, и действующее значение напряженности магнитного поля, необходимые для определения коэффициентов аппроксимации, рассчитываются по показаниям измерительных приборов.

                                                       (17)

                                         (18)

где

                                                               (19)

Коэффициенты аппроксимации «средних» кривых намагничивания зависят от амплитуды магнитной индукции.

Литература

1.  Вонсовский С. В. Магнетизм. – М.: Наука, 1971.

2.  Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. (Нелинейные цепи). – М.: Высшая школа, 1977.

3.  Кифер И.И. Испытания ферромагнитных материалов. (Магнитные измерения). 2-е изд. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962.

4.  Кифер И.И. Характеристики ферромагнитных элементов. – М.: Энергия, 1967.

5.  Янус Р. И., Фридмен Л. А. О случаях неправильного применения коммутационной кривой магнитности при расчетах цепей с ферромагнетиками. – Электричество, 1968.