Вычисление определённый интеграл от функции f(x)=√(exp(x)), используя: метод трапеции, метод прямоугольника, метод Симпсона, метод Гаусса

Страницы работы

3 страницы (Word-файл)

Содержание работы

Лабораторная работа №6

Вычисление определённых интегралов

Постановка задачи: Вычислить определённый интеграл от функции , используя: метод трапеции, метод прямоугольника, метод Симпсона, метод Гаусса.

Обыкновенный определённый интеграл считается по формуле Ньютона-Лейбница . Численное интегрирование применяется, если нахождение  сложно и невозможно.

Рассмотрим несколько методов вычисления определенного интеграла.

Построим график функции в

Подпись: Рис. 1. График функцииExile. Он представлен на рис. 1, на интервале .

Метод прямоугольников

Метод прямоугольника заключается в разбиении отрезка интегрирование на  промежутков  (рис.2), где ,  - шаг разбиения. Применяя формулу прямоугольника к каждому промежутку и суммируя, получим

,

Подпись:  Рис. 2. Метод прямоугольников- остаточный член. Для метода прямоугольника .

Текст программы


Program L5

EXTERNAL F

n=20; a=-1; b=1

Call MP(F,a,b,n,y)

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

Do; n=n+2; Call MP(F,a,b,n,y1)

e=abs(y1-y); y=y1

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

If(e<1E-5) exit

Enddo

End 

SUBROUTINE MP(F,a,b,n,y)

h=(b-a)/n; y=0

Do i=0, n-1; x=a+i*h+h/2

y=y+F(x)

Enddo

y=y*h

End


Метод трапеций

Данный метод заключается в том, что данную криволинейную трапецию разбиваем не на прямоугольники, а на прямолинейные трапеции и соответственно используем не формулу площади прямоугольника а площади трапеции (рис. 3).

Суммируя площади трапеций, получим численное значение определенного интеграла.


Текст программы

Program L5

EXTERNAL F

n=20; a=-1; b=1

Call MT(F,a,b,n,y)

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

Do; n=n+2; Call MT(F,a,b,n,y1)

e=abs(y1-y); y=y1

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

If(e<1E-5) exit

Enddo

End 

Function F(x)

F=sqrt(exp(x))

End

SUBROUTINE MT(F,a,b,n,y)

h=(b-a)/n; y=0

Do i=1, n-1; x=a+i*h

y=y+F(x)

Enddo

y=(y+(F(a)+F(b))/2)*h

End


Метод Симпсона

Метод Симпсона или метод парабол заключается в том, что через три точки в плоскости можно провести  только одну параболу. На кривой можно найти точки, через которые и проведем эти параболы. Криволинейная трапеция разобьется на маленькие криволинейные трапеции, ограниченные сверху этими параболами. Число отрезков, на которые разбиваем интервал, должно быть четным (рис. 4). Выполняя эти операции, можем записать следующие формулы .

Если просуммировать данные площади, то получим:  или иначе можно записать:


Текст программы

Program L5

EXTERNAL F

n=20; a=-1; b=1

Call MS(F,a,b,n,y)

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

Do; n=n+2; Call MS(F,a,b,n,y1)

e=abs(y1-y); y=y1

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

If(e<1E-5) exit

Enddo

End 

Function F(x)

F=sqrt(exp(x))

End

SUBROUTINE MS(F,a,b,n,y)

h=(b-a)/n; y=0; c=1

Do i=1, n-1; x=a+i*h

y=y+F(x)*(3+c); c=-c

Enddo

y=(y+F(a)+F(b))*h/3.

End


Метод Гаусса

Основан на интерполяции f(x) полиномом Лагранжа. Интеграл вычисляется по 8   точкам.


Program L5

EXTERNAL F

n=20; a=-1; b=1

Call Qg8(a,b,F,y)

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

Do; n=n+2; CallQg8(a,b,F,y1)

e=abs(y1-y); y=y1

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

If(e<1E-5) exit

Enddo

End 


Результаты вычислений приведены в таблице 

n

MP

MT

Qg8

n1

MS

20

2.08416

2.08482

2.08438

2

2.08508

40

2.08433

2.08449

4

2.08443

60

2.08436

2.08443

6

2.08439

80

2.08437

2.08441

8

2.08438

100

2.08440

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Информатика
Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
106 Kb
Скачали:
0