Вычисление определённый интеграл от функции f(x)=√(exp(x)), используя: метод трапеции, метод прямоугольника, метод Симпсона, метод Гаусса

Лабораторная работа №6

Вычисление определённых интегралов

Постановка задачи: Вычислить определённый интеграл от функции , используя: метод трапеции, метод прямоугольника, метод Симпсона, метод Гаусса.

Обыкновенный определённый интеграл считается по формуле Ньютона-Лейбница . Численное интегрирование применяется, если нахождение  сложно и невозможно.

Рассмотрим несколько методов вычисления определенного интеграла.

Построим график функции в

Exile. Он представлен на рис. 1, на интервале .

Метод прямоугольников

Метод прямоугольника заключается в разбиении отрезка интегрирование на  промежутков  (рис.2), где ,  - шаг разбиения. Применяя формулу прямоугольника к каждому промежутку и суммируя, получим

,

- остаточный член. Для метода прямоугольника .

Текст программы

Program L5

EXTERNAL F

n=20; a=-1; b=1

Call MP(F,a,b,n,y)

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

Do; n=n+2; Call MP(F,a,b,n,y1)

e=abs(y1-y); y=y1

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

If(e<1E-5) exit

Enddo

End 

SUBROUTINE MP(F,a,b,n,y)

h=(b-a)/n; y=0

Do i=0, n-1; x=a+i*h+h/2

y=y+F(x)

Enddo

y=y*h

End

Метод трапеций

Данный метод заключается в том, что данную криволинейную трапецию разбиваем не на прямоугольники, а на прямолинейные трапеции и соответственно используем не формулу площади прямоугольника а площади трапеции (рис. 3).

Суммируя площади трапеций, получим численное значение определенного интеграла.

Текст программы

Program L5

EXTERNAL F

n=20; a=-1; b=1

Call MT(F,a,b,n,y)

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

Do; n=n+2; Call MT(F,a,b,n,y1)

e=abs(y1-y); y=y1

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

If(e<1E-5) exit

Enddo

End 

Function F(x)

F=sqrt(exp(x))

End

SUBROUTINE MT(F,a,b,n,y)

h=(b-a)/n; y=0

Do i=1, n-1; x=a+i*h

y=y+F(x)

Enddo

y=(y+(F(a)+F(b))/2)*h

End

Метод Симпсона

Метод Симпсона или метод парабол заключается в том, что через три точки в плоскости можно провести  только одну параболу. На кривой можно найти точки, через которые и проведем эти параболы. Криволинейная трапеция разобьется на маленькие криволинейные трапеции, ограниченные сверху этими параболами. Число отрезков, на которые разбиваем интервал, должно быть четным (рис. 4). Выполняя эти операции, можем записать следующие формулы .

Если просуммировать данные площади, то получим:  или иначе можно записать:

Текст программы

Program L5

EXTERNAL F

n=20; a=-1; b=1

Call MS(F,a,b,n,y)

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

Do; n=n+2; Call MS(F,a,b,n,y1)

e=abs(y1-y); y=y1

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

If(e<1E-5) exit

Enddo

End 

Function F(x)

F=sqrt(exp(x))

End

SUBROUTINE MS(F,a,b,n,y)

h=(b-a)/n; y=0; c=1

Do i=1, n-1; x=a+i*h

y=y+F(x)*(3+c); c=-c

Enddo

y=(y+F(a)+F(b))*h/3.

End

Метод Гаусса

Основан на интерполяции f(x) полиномом Лагранжа. Интеграл вычисляется по 8   точкам.

Program L5

EXTERNAL F

n=20; a=-1; b=1

Call Qg8(a,b,F,y)

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

Do; n=n+2; CallQg8(a,b,F,y1)

e=abs(y1-y); y=y1

Print '(I5,a1,F10.5)',n,char(9),y

If(e<1E-5) exit

Enddo

End 

Результаты вычислений приведены в таблице