Системы линейных уравнений. Формулы Крамера. Решение системы методом обратной матрицы. Метод Гаусса

ЛЕКЦИЯ 6

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 6. Решения СЛУ. Учебные вопросы: 1. Формулы Крамера 2. Решение системы методом обратной матрицы 3. Метод Гаусса

4. Формулы Крамера (для системы, в которой число уравнений равно чис­лу неизвестных)

Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно чис­лу неизвестных

 (m=n) и определитель матрицы системы не равен 0 (D¹0), имеет един­ственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

                 …..  

где D — определитель матрицы системы;

D_n — определитель,   получаемый  из определителя  D  заменой n - го столбца столбцом свободных членов.

Пример 2.  Решить систему уравнений

  D =   =   = (-1)³⁺³× =15 – 10 = 5¹0

Система имеет единственной решение, которое можно найти по формулам Крамера:

D₁=  =   = (-1)³⁺³× = 55 – 40 =15

D₂=  =   = (-1)³⁺³× = 60 – 55 = 5

D₃ =   =  =  (-1)³⁺³× = 10

По формуле Крамера находим: х₁=,  х₂ =,  х₃=.

5. Решение системы методом обратной матрицы

1) Найти обратную матрицу матрицы А= 

Составим систему AX=Y, те-есть систему Þ следовательно

А^-1=  . При заданных в системе уравнений значениях y₁ и y₂ определяются х₁ и х₂.

Пример 3.

Замечание: На практике недостатки методов п.п. 4 и 6, состоящие в больших временных затратах при вычислении определителя матрицы и нахождения обратной матрицы систем с большим числом уравнений и переменных, приводят к их ограниченному использованию.

6. Метод Гаусса

            Метод Гаусса применим к решению систем вида А×X = b с любой матрицей А, в том числе и вырожденной или неквадратной.

            Метод Гаусса основан на приведении раширенной матрицы (А|b) системы с помощью элементарных преобразований к трапецевидной форме (А₁|b₁).

            Матрице (А₁|b₁) соответствует линейная система, равносильная исходной, но более простая.

Пример 3.   Решить систему методом Гаусса:

1) 

(А|b)=  Û  Û  Û  = (А₁|b₁) – матрица, которой соответствует система Þ          x = 1, y = 2, z = 2.

2)  (А|b)=  Û  Û  Þ (А₁|b₁| -  матрица, которой соответствует система

  ,       ,  z = k   ,  k – любое число, следовательно система имеет бесчисленное множество решений и получить решения можно, подставляя вместо k конкретные числовые значения.

3)  Þ (A|b)=  Û  Û  = (A₁|b₁) – матрица, которой соответствует система  не имеющая решений. Система несовместна.

Замечание: Достоинство метода Гаусса состоит в том, что:

            · применим к решению систем вида АX=bс любой матрицей, в том числе  и вырожденной и ли неквадратной;

            · менее трудоемкий;

            · позволяет однозначно установить, совместна система или нет;

            · в случае совместности найти решение системы (единственное или бесконечное множество);

            · дает возможность найти максимальное число линейно независимых  уравнений – ранг матрицы системы.

Обобщение материала

Результаты исследования системы могут быть представлены в виде таблицы:

		r=n уравнения системы независимые		r(A) = r(A|b) Система совместная		r=n Система определенная (единственное решение)
Система m линейных уравнений с n переменными
		r<n уравнения системы зависимые		r(A) ¹ r(A|b) Система несовместная		r<n Система неопределенная (бесконечное множество решений)
Решение системы методом Гаусса

Практикум 4

1. Выписать матрицу А и расширенную матрицу (А|b) системы:

                                                          

2. Вычислить обратную матрицу системы и с ее помощью найти решение системы:

                  

3. Решить систему методом Крамера:

                    Отв. (-3;2), (4;-2), (-2/5;3/5;3/5)

4. Решить систему методом Гаусса:

             Отв. (1;2;-1), (3;2;1), (с;1-3с;1-5с)