Элементы комбинаторики, теории вероятностей и прикладные задачи математической статистики: Практикум

возможных позиций, разделы между которыми изобразим буквой «Р». Итого получится 9 букв «Р». Каждую порцию мороженого представим в виде буквы «М». получится слово из 13 букв, в котором всего две разные буквы: «Р» повторяется 9 раз, а буква «М» – 4 раза. Количество способов выбора 4 порций мороженого равно числу различных расположений букв, входящих в рассматриваемое слово. Искомое количество равно числу перестановок из 13 букв, деленное на число перестановок каждой из повторяющихся букв

Пример 10. В колоде 36 карт. Сколькими способами можно раздать по 6 карт 4 игрокам?

Решение. Расположим все 36 карт в ряд и будем считать, что первые  6 карт достались первому игроку, вторые 6 карт – второму, третьи 6 карт – третьему, четвертые 6 карт – четвертому игроку, а остальные 12 карт остались в колоде. Тогда различным раскладкам соответствуют такие перестановки карт в этом ряду, которые меняют состав одной из четырех шестерок или 12 последних карт. В этом случае перестановки внутри шестерок и между картами колоды не меняют расклада. Поэтому количество различных перестановок из 36 карт будет больше количества разных раскладов в 6! × 6! × 6!× 6! × 12! раз. Поэтому количество разных раскладов

Пример 11. У двух ребят есть 10 яблок, 15 апельсинов и 14 груш.

1. Сколькими способами они могут разделить эти фрукты между собой?

2. Как изменится количество способов раздела, если каждому ребенку достанется не менее двух фруктов каждого вида?

Решение. Яблоки можно разделить 11 способами, апельсины – 16 способами и груши – 15 способами. Согласно правилу произведения все эти способы перемножаются  11 ×16 ×15 = 2640 способов.

Во втором случае в разделе участвуют 10 – 4 = 6 яблок, 15 – 4 = 11 апельсинов и 14 – 4 = 10 груш. Поэтому число различных разделов равно  7 ×12 ×11 = 924.

Пример 12. У трех ребят есть 40 яблок. Сколькими способами они могут разделить все яблоки между собой?

Решение. Представим каждого из 3 ребят как возможную позицию для размещения яблок, разделы между которыми изобразим буквой «Р». Итого получится 2 буквы «Р». Каждое яблоко представим в виде буквы «Я». получится слово из 42 букв, в котором всего две разные буквы: «Р» повторяется 2 раза, а буква «Я» – 40 раз. Количество способов раздела 40 яблок равно числу различных расположений букв, входящих в рассматриваемое слово. Искомое количество равно числу перестановок из 42 букв, деленное на число перестановок каждой из повторяющихся букв

Пример 13. Берутся все перестановки из 5 чисел 1, 2, 3, 4, 5. Найти количество перестановок N, в которых ни одно из этих чисел не остается на месте.

Решение. Представим это количество как разность всех перестановок Р₅ и количества перестановок Р₄, в которых одно из чисел стоит на своем месте. Таких чисел будет 5 = . Однако мы вычли слишком много перестановок, так как среди них попадаются и такие, в которых другое число тоже стоит на своем месте. Поэтому к полученной разности необходимо добавить количество перестановок Р₃, в которых два числа стоят на своих местах. Таких пар чисел будет 10 = . И так далее. Таким образом, искомое количество представляется в виде

.

Задания для самостоятельного решения

1.  Из 3 групп студентов нужно выбрать одного участника олимпиады по математике. Каким количеством способов это можно сделать, если в первой группе 10 студентов увлекаются математикой, во второй –  только 5 студентов, а в третьей – 7 студентов? (22).

2.  Из 2 групп студентов нужно выбрать 2 участников олимпиады, в которой предлагаются задания по математике и информатике. Каким количеством способов это можно сделать, если в первой группе 12 студентов увлекаются математикой, а во второй – 10 студентов увлекаются информатикой? (120).

3.  Сколько существует способов задать на компьютере код, состоящий из 4 букв русского алфавита? (33⁴ = 1185921) .

4.  На денежных знаках печатается индекс, состоящий из 2 букв русского алфавита и семи цифр от 0 до 9 каждая. Сколько сторублевых купюр можно напечатать, чтобы индекс был разным? (10 890 000 000).

5.  Путем опроса общественного мнения изучается рейтинг 10 политиков. Сколькими способами могут распределиться первые четыре места? (5040).

6.  Флаг страны состоит из 3 разноцветных горизонтальных полос. Сколько стран могут иметь такой флаг, если участвуют 7 цветов спектра и белый цвет? (336).

7.  На собрании должны выступить 5 человек. Сколькими способами можно составить список выступающих? (120).

8.  Сколькими способами можно составить кортеж президента, если он состоит из 3 «мерседесов», 4 «БМВ» и 5 мотоциклов? (27720).

9.  В очереди стоят 5 мужчин и 4 женщины. Сколько разных очередей можно составить, если женщины не стоят в очереди друг за другом? (43200).

10. На телеканал ОРТ поступило 10 реклам, среди которых 4 рекламы зубной пасты. Сколькими способами можно составить очередность показа этих реклам, чтобы никакие две рекламы зубной