Комплексное число Z в тригонометрической форме (Отчет о выполнении контрольной работы)

НЕКОММЕРЧЕСКОЕ частное ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Высшего профессионального образования

КУБАНСКИЙ ИНСТИТУТ ИНФОРМЗАЩИТЫ

ОТЧЕТ

о выполнении контрольной работы по дисциплине
«Математика»

вариант № 4

                        Выполнил  студент:    Лушин Сергей Алексеевич

^{(фамилия, имя, отчество)}

 

Учебная группа: 12 ИЗ-02

Направление подготовки: _____________________

Проверил:                                _________________

Оценка: _______________________________

Краснодар 2012 год

Представить комплексное число Z в тригонометрической форме и найти 3Z.

1.  Z = 2 + i

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi  можно выразить через его модуль  r  и аргумент φ:

a = r cosφ, b = sinφ, тогда a + bi = r (cosφ+isinφ). __

Аргумент комплексного числа - это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число.

Отсюда, tanφ = b / a .__

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается  | a+ bi | или буквой  r  и равен:

r = ǀa+biǀ=a2+ b2.

r = ǀ2 + iǀ = 22+12 = 5

Z = 2 + i = 525+ 15i= 5 (cos26,560+isin26,560)

ВтораяформулаМуавра:

Zk= nr (cosφ+isinφ) = nr(cosφ+2πkn+isinφ+2πkn), где k – целоечисло.

Чтобы получить n  различных значений корня n-ой степени из z  необходимо задать  n  последовательных значений для k (например, k = 0, 1, 2,…, n – 1)

Если k = 0, то Z0 = 65 (cos8,8550+isin8,8550) = 1,292 + i 0,230

Если k = 1, то Z1 = 65 (cos128,8550+isin128,8550) = - 0,820 + i 1,018

Если k = 2, то Z2 = 65 (cos248,8550+isin248,8550) = - 0,472 – i 1,220

2.  Z = 3 – i

r = ǀ3 – i ǀ = 32+(-1)2 = 10

Z = 3 – i = 10310- 110i= 10 (cos(-18,4350)+isin(-18,4350)),

Тогда корни Zk=3Z составят:

Если k = 0, то Z0 = 610 (cos(-6,1450)+isin(-6,1450)) = 1,459 – i 0,157

Если k = 1, то Z1 = 610 (cos113,8550+isin113,8550) = - 0,594 + i 1,342

Если k = 2, то Z2 = 610 (cos233,8550+isin233,8550) = - 0,866 – i 1,185

3.  Z = 2 + 3i

r = ǀ2 + 3i ǀ = 22+32 = 13

Z = 2 + 3i = 13213+313i= 13 (cos81,150+isin81,150),

Тогда корни Zk=3Z составят:

Если k = 0, то Z0 = 613 (cos27,050+isin27,050) = 1,366 + i 0,697

Если k = 1, то Z1 = 613 (cos147,050+isin147,050) = - 1,287 + i 0,834

Если k = 2, то Z2 = 613 (cos267,050+isin267,050) = - 0,079 – i 1,5313

4.  Z = 3 + 4i

r = ǀ3 + 4i ǀ = 32+42 = 25 = 5

Z = 3 + 4i = 50,6+0,8i= 5 (cos53,130+isin53,130),

Тогда корни Zk=3Z составят:

Если k = 0, то Z0 = 35 (cos17,210+isin17,210) = 1,633 + i 0,506

Если k = 1, то Z1 = 35 (cos137,210+isin137,210) = - 1,265 + i 1,151

Если k = 2, то Z2 = 35 (cos257,210+isin257,210) = - 0,364 – i 1,671

5.  Z = 1 + 2i

r = ǀ1 + 2i ǀ = 12+22 = 5

Z = 1 + 2i = 515+25i= 5 (cos63,4350+isin63,4350),

Тогда корни Zk=3Z составят:

Если k = 0, то Z0 = 65 (cos21,1450+isin21,1450) = 1,220 + i 0,472

Если k = 1, то Z1 = 65 (cos141,1450+isin141,1450) = - 1,018 + i 0,820

Если k = 2, то Z2 = 65 (cos261,1450+isin261,1450) = - 0,201 – i 1,292

6.  Z = 1 + i

r = ǀ1 + i ǀ = 12+12 = 2

Z = 1 + i = 212+12i= 2 (cos450+isin450),

Тогда корни Zk=3Z составят:

Если k = 0, то Z0 = 62 (cos150+isin150) = 1,084 + i 0,291

Если k = 1, то Z1 = 62 (cos1350+isin1350) = - 0,794 + i 0,794

Если k = 2, то Z2 = 62 (cos2550+isin2550) = - 0,291 – i 1,004

7.  Z = 2 – i

r = ǀ2 – i ǀ = 22+(-1)2 = 5

Z = 2 – i = 525-15i= 5 (cos(-26,5650)+isin(-26,5650)),

Тогда корни Zk=3Z составят:

Если k = 0, то Z0 = 65 (cos(-8,8550)+isin(-8,8550)) = 1,292 – i 0,230

Если k = 1, то Z1 = 65 (cos111,1450+isin111,1450) = - 0,472 + i 1,220

Если k = 2, то Z2 = 65 (cos231,1450+isin231,1450) = - 0,820 – i 1,018

8.  Z = 1 – i

r = ǀ1 – i ǀ = 12+(-1)2 = 2

Z = 1 – i = 212-12i= 2 (cos(-450)+isin(-450)),

Тогда корни Zk=3Z составят:

Если k = 0, то Z0 = 62 (cos(-150)+isin(-150)) = 1,084 – i 0,291

Если k = 1, то Z1 = 62 (cos1050+isin1050) = - 0,291 + i 1,084

Если k = 2, то Z2 = 62 (cos2250+isin2250) = - 0,794 – i 0,794

9.  Z = 1 + 3i

r = ǀ1 + 3i ǀ = 12+32 = 10

Z = 1 + 3i = 10110+ 310i= 10 (cos71,5650+isin71,5650),

Тогда корни Zk=3Z составят:

Если k = 0, то Z0 = 610 (cos23,8550+isin23,8550) = 1,342 + i 0,594

Если k = 1, то Z1 = 610 (cos143,8550+isin143,8550) = - 1,185 + i 0,866

Если k = 2, то Z2 = 610 (cos263,8550+isin263,8550) = - 0,157 – i 1,459

10.Z = 3 + 2i

r = ǀ3 + 2i ǀ = 32+22 = 13

Z = 3 + 2i = 13313+213i= 13 (cos33,690+isin33,690),

Тогда корни Zk=3Z составят:

Если k = 0, то Z0 = 613 (cos11,230+isin11,230) = 1,504 + i 0,299

Если k = 1, то Z1 = 613 (cos131,230+isin131,230) = - 1,011 + i 1,153

Если k = 2, то Z2 = 613 (cos251,230+isin251,230) = - 0,493 – i 1,452

11.Z = 3 + 3i

r = ǀ3 + 3i ǀ = 32+32 = 18