Классификация предельных множеств динамической системы. Линейный анализ устойчивости. Устойчивость хаотических решений

Введение

Важнейшей характеристикой возможных в системе движений является свойство устойчивости или неустойчивости. Легко представить себе устойчивое и неустойчивое состояние равновесия, вообразив шарик на дне ямки и на вершине горки. Однако устойчивостью или неустойчивостью характеризуются не только состояния равновесия, но любые траектории фазового пространства. Существует несколько различных понятий устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, орбитная устойчивость, устойчивость по Пуассону. Движение x"(t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого ε>0 можно указать такое δ (ε), что для всякого движения х (t), для которого ||х(t₀) – x^*(t_о)|| < δ, при всех t>t₀  выполняется неравенство ||x(t) - x*(t)|| < ε. Знак ||o|| означает норму вектора. Таким образом, для устойчивого по Ляпунову движения малое начальное возмущение не нарастает. Если малое начальное возмущение δне только не нарастает, но со временем стремится к нулю, то есть ||х(t) - x*(t)||→0 при t→∞, то движение обладает более сильным свойством устойчивости асимптотической устойчивостью. Всякое асимптотически устойчивое движение является устойчивым по Ляпунову, обратное в общем случае не верно.

Определение орбитной устойчивости отличается от определения устойчивости по Ляпунову тем, что в нем рассматривается не расстояние между изображающими точками исследуемого и возмущенного движения в один момент времени, а минимальное расстояние от изображающей точки возмущенной траектории в данный момент времени tдо орбиты Г*, соответствующей исследуемому движению. Требование орбитной устойчивости слабее, чем требование устойчивости по

Ляпунову. Орбитно устойчивое движение в общем случае может быть неустойчивым по Ляпунову, однако движение, устойчивое по Ляпунову, всегда орбитно устойчиво.

Устойчивость движения x'(t) по Пуассону является еще более слабым требованием и предполагает только то, что соответствующая фазовая траектория при t→∞ не покидает ограниченной области фазового пространства. Находясь в этой области бесконечно долго, она неизбежно возвращается в сколь угодно малую окрестность начальной точки. Времена возврата могут соответствовать периоду или квазипериоду при регулярном движении, а могут представлять собой случайную последовательность, если движение отвечает режиму динамического хаоса.

Для понимания динамики системы особенно важны свойства устойчивости фазовых траекторий, принадлежащих предельным множествам, например аттракторам. Эти свойства лежат в основе классификации предельных множеств. Изменение характера устойчивости того или иного предельного множества в фазовом пространстве системы, вызванное изменением параметров, может привести к существенной перестройке фазового портрета, называемой бифуркацией. Различают так называемые локальные, и нелокальные бифуркации. С бифуркациями тесно связано понятие катастрофы. В этой главе будут кратко рассмотрены основы линейного анализа устойчивости фазовых траекторий, дана классификация предельных множеств, рассмотрены основные локальные бифуркации простейших