Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплинам: «Информационные технологии проектирования радиоэлектронных средств» и «Информационные технологии проектирования электронных вычислительных систем»

методами регрессионного анализа при выполнении необходимых его предпосылок, получают, как при пассивном эксперименте, полиномиальную математическую модель.

Факторами будем называть наиболее существенные входные величины, полученные в результате отсеивающих экспериментов, принимающие в некоторый момент времени определенное значение. Область определения фактора, т. е. совокупность всех значений, которые принимает данный фактор, может быть непрерывной и дискретной. В задачах планирования активного эксперимента всегда используются дискретные области определения, а для факторов с непрерывной областью определения (температура, время, и т. п.) выбираются дискретные множества уровней. Кроме того, фактор должен быть управляемым (поддерживаемый постоянным в течение опыта или меняющимся по заданной программе), однозначным (не являющимся функцией других факторов), измеряемым с достаточно высокой точностью. В совокупности факторы должны быть совместимы (их комбинации осуществимы и безопасны), между ними не должно быть линейной корреляции.

Как правило, при активном эксперименте факторы варьируются на двух уровнях (верхнем «+» и нижнем « - »), отличающихся от так называемого базового уровня  на значение шага варьирования ±Δх_j. В качестве базового уровня можно выбирать величину фактора, определенную по технологическому perламенту или из соображений профессионально-логического анализа. Следует иметь в виду, что малый шаг варьирования  может повлечь статистическую незначимость оценки коэффициента уравнения регрессии. В случае, если полученная математическая модель окажется неадекватной, проводится эксперимент с меньшим шагом варьирования, но тогда возникает опасность, что приращение выходной переменной при реализации с меньшим шагом варьирования может не проявляться на фоне шумов. Поэтому целесообразно для уточнения шага варьирования проводить предварительные эксперименты.

Эксперимент, в котором реализуются все, возможные неповторяющиеся сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Число точек наблюдений в этом плане N=2ⁿ, где n — число факторов, варьируемых на двух уровнях. Условия эксперимента представляют в виде таблицы, называемой матрицей планирования, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы — значениям факторов. Например, в табл. 1 представлена матрица планирования ПФЭ 2² для двух независимых факторов, где «+» соответствует верхнему уровню варьирования фактором, а « — » — нижнему, число опытов N=4.

Таблица 1

В план эксперимента введена фиктивная переменная х₀ , которая служит для определения свободного числа уравнения регрессии b₀ .

Для того чтобы получить план эксперимента для трех факторов х₁ , х₂ , х₃ ,  к плану ПФЭ 2² добавляют один столбец, в котором фактор х₃ варьируется, на нижнем уровне (« — »), и повторяют этот план с варьированием фактора х₃ на верхнем уровне («+») (табл. 2). Такая же процедура повторяется для числа факторов n=4 и так далее.

Таблица 2

В тех случаях, когда эффект фактора х_j зависит от уровня, на котором находится другой фактор х_i, имеет место взаимодействия двух факторов х_ji, для оценки которого вводят в матрицу планирования столбец произведений этих факторов (cм. табл. 1).

Поскольку изменение выходной переменной носит случайными характер, то эксперимент проводится с т параллельными опытами и определяется среднее значение выходной переменной  по каждой строке матрицы планирования.

Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных наличием помех, используется случайная последовательность при постановке опытов, запланированных матрицей, т. е. опыты рандомизируются во времени. Выбранную по таблице случайных чисел последовательность не рекомендуется нарушать.

Число опытов в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов модели, что приводит к большой избыточности опытов. Кроме того, с помощью ПФЭ можно получить только либо линейную, либо неполноквадратическую математическую модель, так как из полного факторного эксперимента нельзя извлечь информацию о квадратичных членах полинома.

В первом случае избыточность опытов используют для формирования планов дробного факторного эксперимента (ДФЭ), а во втором — при необходимости переходят к планам более высокого порядка, например композиционным планам второго порядка, в которых используются принципы ортогональности и ротатабельности планирования.

Таблица 3

Рассмотрим процедуру построения дробного факторного эксперимента для n=3. Исходя из плана 2² (см. табл. 1) вместо парного взаимодействия х₁х₂ вводим фактор х₃= =х₁х₂. Полученный дробный план 2^3-1 является полурепликой факторного плана 2³. Если х₃ приравнять к — х₁х₂, то получим, вторую полуреплику плана 2^3-1 (табл. 3). Для произведения трех столбцов полуреплики I выполняется сотношение: +1 = х₁х₂х₃,  а для полуреплики II — 1= х₁х₂х₃ . Символическое обозначение произведения столбцов, равного +1 или — 1, называется определяющим контрастом, который позволяет определять смешанные эффекты. Для того чтобы определить, какой эффект смешан с данным эффектом, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если 1= х₁х₂х₃, то будем иметь:

, так как ;

;

                                                            (1)

Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками:

;    ;                    (2)

Соотношение, показывающее, с каким эффектом смешан данный эффект, называется генерирующим.

Для правильного планирования ДФЭ необходимо, на основе априорных данных выделить те переменные и произведения переменных, влияние которых на объект минимально. При этом смешивание, надо производить так, чтобы основные коэффициенты (β₀ , β₁ , …, β_n ) были смешаны с коэффициентами при взаимодействиях самого высокого порядка (так как они обычно отсутствуют), или при тех взаимодействиях, о которых известно, что они не оказывают влияние на объект исследования.

При большом числе входных переменных можно использовать реплики более высокой степени дробности, но не рекомендуется использовать дробные реплики для n>15.

Если линейные модели, построенные с помощью ПФЭ и ДФЭ, неадекватны, то переходят к построению квадратичных моделей. Оптимальный план для квадратичной модели целесообразно строить таким образом, чтобы он включал точки плана для линейной модели. Это позволяет сократить число опытов. Такие планы называются композиционными планами второго порядке и помимо ядра плана, в качестве которого могут использоваться планы ПФЭ или ДФЭ, содержат блоки, включающие «звездные точки» α и нулевые (центральные) точки 0.

В композиционных планах чаще всего используются критерии ортогоналыности и ротатабельности. Критерий ортогональностя используется для упрощения вычислений и получения независимых оценок коэффициентов модели. Это значит, например, что замена нулем любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оценок оставшихся коэффициентов, что весьма существенно, когда точный вид модели неизвестен и приходится использовать экспериментальные данные для отбора переменных, существенно влияющих на выходную переменную, путем проверки статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Критерий ротатабельности требует такого расположения экспериментальных точек в области планирования, при котором дисперсия  оценки значений выходной переменной в точке наблюдения зависит только от расстояния от этой точки до центра