Пользовательский элемент управления. Создание клиентского приложения. Развитие серверного проекта, страница 8

Напомним, что общее решение уравнения (*) при произвольном виде входного воздействия состоит из двух составляющих: . Первая составляющая — это переходная функция, оня является фундаментальным решением однородного уравнения  (того же уравнения, но при u(t) = 0) и характеризует свойства самой системы. Вторая составляющая представляет собой одно из решений неоднородного уравнения (*). Оно зависит как от свойств системы, так и от входного сигнала. Выбор решения произволен. Например, в качестве  можно взять выход системы в установившемся режиме (при t®¥). Обычно так и делают, так как найти это решение очень просто. В нашем случае им является:

             K — имеет смысл коэффициента усиления системы

Простой подстановкой этого решения в уравнение (*) вы можете убедиться, что оно ему удовлетворяет. Переходную  составляющую общего решения определяют с помощью характеристического уравнения. Так называется алгебраическое уравнение вида:

, полученное на основе исходного — дифференциального. Корни уравнения  определяют поведение системы в переходном режиме. Говорят, что они характеризуют свободное движение системы. Заметим, что эти же корни являются собственными числами матрицы системы дифференциальных уравнений первого порядка при эквивалентном описании задачи в пространстве состояний. В нашем случае уравнение (*) второго порядка эквивалентно системе из двух уравнений первого порядка. Переходная составляющая (свободное движение, или общее решение однородного уравнения) имеет вид.

Здесь A и B — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Именно они обеспечивают единственность общего решения. Итак, общее решение неоднородного уравнения (*) при единичном ступенчатом воздействии имеет вид.

Обратите внимание на то, что в установившемся режиме (когда затухнут экспоненты) выходной сигнал будет равен K, то есть единица на входе усилится в K раз. Нам осталось найти коэффициенты A и B, с учетом начальных условий. В качестве начальных обычно принимают условия равенства нулю как самого сигнала y(0) = 0, так и его первой производной. Таким образом, постоянные интегрирования можно найти, решив систему из двух алгебраических уравнений:

Решив эту систему, найдем выражения для постоянных интегрирования.

Подстановка найденных констант в общее решение дает.

                  (**)

Корни характеристического уравнения  могут быть действительными, кратными и комплексными, В связи с этим различают:

¨  Апериодические процессы, соответствующие отрицательным действительным корням уравнения,

¨  Осциллирующие процессы, соответствующие паре сопряженных комплексных корней с отрицательной действительной частью.

¨  Отдельно рассматривают случай кратных корней . При этом решение является полиномом от t.

¨  Также отдельно рассматривают случаи положительных действительных корней или комплексных корней с положительной действительной частью. Им соответствуют неустойчивые системы, так как в этих случаях с течением времени функция  неограниченно растет.

Осциллирующее решение можно получить из выражения (**) путем подстановки в него пары сопряженных комплексных корней:

Здесь  — действительная и мнимая части корней. Они зависят из коэффициентов  исходного уравнения.

Для упрощения выражения, которое получится в результате подстановки комплексных корней в решение (**), удобно использовать формулы Эйлера:

Получим:

              (***)

Последнее решение часто записывают в эквивалентном виде с помощью параметров, имеющих определенный физический смысл. Введем новые понятия.

Декремент затухания: , постоянная времени: колебательность:   

Выражения для  (действительной и мнимой частей корней) перепишем в виде:

Подставив эти выражения в осцилирующее решение (***), получим эквивалентную запись.

       (****)

Импульсная переходная функция