Экспериментальное определение теплоемкости металлов при комнатной температуре и сравнение с теоретическими данными

Цель работы – экспериментально определить теплоемкость металлов при комнатной температуре и сравнить с теоретическими данными.

Основные сведения

Особенностью металлов являются очень малые межатомные расстояния, что приводит к сильному перекрытию волновых функций электронов, значительному понижению потенциальных барьеров и очень большой вероятности туннелирования электронов от одного атома к другому. Валентные электроны беспрепятственно перемещаются от атома к атому, проводя равное количество времени вблизи каждого атома, что не позволяет судить о принадлежности электрона тому или иному атому и соответственно говорят о коллективном владении атомными остовами коллективом электронов. Таким образом, металл представляет собой две подсистемы – кристаллическую решетку из атомных остовов и коллектив почти свободных электронов.

Теплоемкость тела есть ни что иное, как изменение тепловой энергии U при изменении его температуры на один градус. Теплоемкость металла соответственно равна сумме теплоемкостей электронной и решеточной подсистем.

Рассмотрим эти вклады.

I Теплоемкость кристаллической решетки

При конечной температуре частицы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, участвуя в тепловом движении, колеблются около положений равновесия. Амплитуда этих колебаний для большинства кристаллов обычно не превышает  0,01 нм, что составляет около 5% равновесного расстояния между соседними частицами.

Характер этого колебания весьма сложен, ибо каждый колеблющийся атом связан со всеми своими соседями. При малых отклонениях от положения равновесия можно считать, что сила взаимодействия между атомами пропорциональна смещению атома от положения равновесия с коэффициентом пропорциональности γ, т.е. является упругой силой с жесткостью γ.

Рассматривая одномерную цепочку из одинаковых атомов и решая уравнения движения любого атома, получим, что в такой цепочке может распространяться лишь волна с частотой

где m – масса атома, k – волновое число, a – расстояние между соседними атомами. Частота колебаний атомов оказывается ограниченной:

.

При этом длина волны и ее волновое число равны λ_min=2a и k_max=π/a=2π/λ_min . Максимальная частота соответствует колебаниям соседних атомов в противофазе. В области малых k (больших длин волн)  ka<<1, синус можно заменить его аргументом, и мы получаем линейный закон дисперсии:

где   - скорость звуковых волн. Таким образом, колебания цепочки атомов могут быть представлены в виде гармонических колебаний, частота и волновой вектор которых связаны определенным соотношением (законом дисперсии). Тем самым энергия взаимодействующих друг с другом атомов (ионов, молекул) оказывается равной сумме энергии невзаимодействующих друг с другом осцилляторов.

В трехмерной кристаллической решетке тепловой нагрев приводит к очень сложному движению составляющих ее частиц. Если рассматривать индивидуальные частицы, то отыскание законов движения огромного числа атомов является безнадежной задачей. Однако такую совокупность колеблющихся частиц также удается свести к коллективной модели, т.е. представить колебания решетки в виде совокупности не взаимодействующих плоских волн. Каждой волне, следуя идеям де Бройля, можно сопоставить частицу. В случае колебаний атомов в твердом теле эти частицы называются фононами. С точки зрения колебательной энергии кристалла твердое тело в этом случае представляет собой «газ» фононов, так как именно в газе энергия системы равна сумме энергий отдельных частиц. В единице объема кристалла имеется конечное число частиц N. Это означает, что всего может быть 3N различных типов колебаний (которые называются модами колебаний) или 3N фононов, распространяющихся со скоростью звука.