Экспериментальное определение коэффициента теплопроводности и удельного сопротивления металлов, проверка закона Видемана-Франца, страница 3

3. Относительный вклад электронной и фононной подсистем.

Для определения вклада колебаний кристаллической решетки (фононов) и свободных электронов в теплопроводность металлов рассмотрим отношение их коэффициентов теплопроводностей

Для чистых металлов c_эл/c_ф ≈ 10^-2, v_F/v_зв ≈ 10³, ℓ_эл/ℓ_ф ≈ 10 и поэтому для них λ_эл/λ_ф~10-100, т.е. в металлах основными переносчиками тепла являются электроны. В неупорядоченных сплавах длины свободного пробега как фононов так и электронов определяются главным образом структурными неоднородностями кристаллической решетки и в них электронная теплопроводность по порядку величину равна решеточной.

II. Электропроводность.

В отсутствии внешнего электрического поля электроны участвуют в тепловом хаотическом движении со средней тепловой скоростью <u>, при этом все направления равноправны. Так как в металлах разрешенная зона заполнена не полностью, то даже слабое электрическое поле способно вызвать переход электронов на вышележащие свободные уровни. Переходы в нижележащие уровни невозможны, так как эти состояния заняты. Это приводит к тому, что электроны приобретают преимущественное направление скорости против внешнего электрического поля. Однако ускоряться могут не все электроны, а лишь небольшая часть электронов, имеющих энергии близкие к энергии Ферми (E_F ± kT). Поэтому можно считать, что все свободные электроны в металле имеют  скорость, соответствующую  энергии  Ферми v_эл = v_F. Под действием приложенного электрического поля напряженностью E электрон с эффективной массой m* и зарядом e за время между соударениями τ приобретает средний импульс p и среднюю дрейфовую скорость v_др:

Отсюда v_др = eEτ/m*. Время свободного пробега τ можно определить через длину свободного пробега ℓ_эл электрона τ=ℓ_эл/v_F.

Плотность электрического тока при концентрации электронов n равна

Коэффициент пропорциональности σ между j и E представляет собой удельную электропроводность. Удельное сопротивление металла есть обратная величина

.

Как видно оно зависит от импульса Ферми p_F, концентрации электронов n и длины их свободного пробега ℓ_эл. При изменении температуры энергия Ферми в металлах изменяется столь незначительно, что этим изменением можно пренебречь. Соответственно остаются неизменными v_F и p_F. Концентрация свободных электронов n также изменяется очень незначительно. Поэтому электропроводность определяется в основном средней длиной свободного пробега.

Квантовые представления приводят к следующему выражению для удельной электропроводности металла

                                        (1)

где r – удельное сопротивление, e - элементарный заряд, n – концентрация электронов, ℓ_эл – средняя длина свободного пробега электрона, h – постоянная Планка.

Если считать, что каждый атом в металле поставляет один свободный электрон, то концентрация свободных электронов равна концентрации атомов и может быть рассчитана по формуле

,                                                                  (2)

где d – плотность металла; А – атомная масса; N₀– число Авогадро.

В электропроводности под длиной свободного пробега понимается длина, на которой электрон полностью теряет свою скорость направленного движения, обусловленную приложенным электрическим полем. Это означает, что импульс электрона (приблизительно равный p_F) должен измениться до нуля, т.е. изменение практически равно самому импульсу. Поэтому основное влияние на длину свободного пробега будут оказывать взаимодействия с препятствиями, способными обеспечить такое изменение импульса электрона.