Теория поля. Расчет поля поверхности тела Ω в направлении внешней по отношению к телу нормали

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский  государственный горный  институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Кафедра высшей математики

Расчётно-графическое задание №1

Теория поля

По дисциплине:                     Высшая математика                      

               (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Вариант №13

Выполнил: студент      гр.ЭР-06-2                 / Поддубный Д.А./

                                                                                                                 ^{(подпись)                                                (Ф.И.О.)}  

Оценка:

Дата:

Проверил:

Руководитель:              доцент                     /Колтон Г.А./

   ^{(должность)                                    (подпись)                                                          (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

2008

Дано: тело Ω, расположенное в первом октанте и ограниченное координатными плоскостями и поверхностью Σ, заданной уравнением  и векторное поле

Задание:

1. Найти поток поля через поверхность тела Ω в направлении внешней по отношению к телу нормали двумя способами: непосредственно и с помощью формулы Гаусса – Остроградского.
2. Циркуляцию поля по замкнутой ломаной линии А → В → С → А, где А, В, С – точки пересечения поверхностей Σ с положительными полуосями координат Ох, Oy, Oz соответственно, двумя способами: непосредственно и с помощью формулы Стокса.

Решение:

1) Нахождение потока:

1-ый способ.

Поверхность Σ пересекает положительные координатные полуоси в точках , , .

Параметризуем поверхность Σ, полагая, что:

Так как поверхность взаимно однозначно проектируется на любую координатную плоскость то поток поля через эту поверхность можно определить вычислением следующего интеграла:

,

Где:

Таким образом:

Определим поток через плоскую область М₁М₂О:

Потоки через область М₂М₃О и М₃М₁О:

Таким образом, поток через поверхность тела равен:

2-ой способ. По формуле Гаусса – Остроградского: