Динамический расчёт плоской стержневой системы на действие вибрационной нагрузки

МО                                                                                              РБ

УО «ПОЛОЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра “Сопротивления материалов

Строительной механики”

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

“Динамический расчёт плоской стержневой системы на действие вибрационной нагрузки”

Выполнил студент гр.03-ПГС-1:                                                Кезик Ю.И.

Проверил  :                                                                  Родионов В. К.

НОВОПОЛОЦК 2006

ВАРИАНТ №12.

Строка  №6.

Для данной стержневой системы определить собственные частоты свободных колебаний и динамические внутренние усилия при действии динамической нагрузки.

Материал балки – сталь Ст.3., модуль упругости

Дано:

       

Решение:

1. Кинематический анализ.

А) Изобразим расчётную схему балки в виде  кинематической цепи.

Б) Подсчитаем число степеней свободы.

Вывод: Система может быть геометрически неизменяема и статически определима.

В) Анализ геометрической структуры.

Диск Д1 крепится к диску “Земля” при помощи –  не параллельных, не пересекающихся в одной точке стержней, и образует единый жёсткий диск.

Вывод: Система является геометрически неизменяемой и статически определимой.

2. Определение собственных частот и построение собственных форм свободных колебаний системы.

2.1 Определим полное и неполное число степеней свободы.

2.2 Изобразим систему в деформированном состоянии и наложим на систему параметры при помощи которых определяется положение колеблющихся масс в любой момент времени.

2.3 Изобразим основную систему  обратного метода (рис. 1в).

2.4 Составим дифференциальное уравнение свободных колебаний системы в обратной форме:

                                   (1)   

2.5 Решаем систему дифференциальных уравнений свободных колебаний и получаем  систему амплитудных уравнений:

                                           (2)

Подставим 2 в 1 и получаем:

Данная система уравнений является системой линейных  однородных алгебраических уравнений.

Система имеет два решения:

1.    Колебаний нет.

2.

                                (3)

2.6 Определим величину , для чего рассмотрим основную систему обратного метода в двух единичных состояниях, и построим единичные эпюры, а затем по формуле определяем величину этих коэффициентов

Состояние (рис. 1г)

Состояние (рис. 1д)

2.7 Подставляем найденные коэффициенты  и   в (3) , преобразовываем его и раскрываем, в результате чего  получаем преобразованное частотное уравнение.

, умножим строку на величину .

Получаем

 

2.8 Определим требуемый № двутавра из условия её статической прочности на изгиб.

 (рис. 1з).

      

 По полученным параметрам из сортамента прокатной стали, выбираем двутавр  Ι № 30.         

определим

2.9 Строим спектр собственных частот в безразмерной форме.

        

2.10 Построим собственные формы  свободных колебаний. Для чего используем преобразованное амплитудное уравнение.

А) форма с   

Пусть  тогда

Б) форма с   

Пусть  тогда  

На основании выполненных расчетов построим собственные формы свободных колебаний системы (рис. 1е,ж).

2.11 Проверим ортогональность собственных форм.

  

2.12 Определяем нормирующие множители для первой и второй собственных форм.

;

1 форма

2 форма

Значения ортонормированных амплитуд:

1 форма

2 форма

Правильность нахождения ортонормированных амплитуд:

  

3. Динамический расчёт системы на вибрационную нагрузку:

M=2600кг. ; H=2,6кН;     

3.1  Составим дифференциальные уравнения вынужденных колебаний в обратной форме:

Система однородных Д.У.

При установившемся режиме будем искать в форме частных уравнений:

 

 

 

После преобразований получим:

Преобразуем амплитудные уравнения вынужденных колебаний в систему уравнений амплитудных значений сил инерций;

После преобразований получим:

Коэффициенты  определяются так же, как и при расчёте на свободные колебания.

Определяем величину  и  :

Для определения свободных членов  и  рассмотрим  О.С. обратного метода на действие  амплитудного значения возмущающей нагрузки (рис. 1и)

По формуле :

  определим  величину свободных членов:

Решаем систему амплитудных значений и определяем их величину:

x₁=-0,187;   x₂=-1,143.

Строим эпюры  (рис. 1к,л).

Строим эпюру (рис. 1м).

Строим полную эпюру динамических усилий (рис. 1н).

Определяем амплитуды:

  рад.

 м.