Степенные ряды. Свойства степенных рядов в круге сходимости; понятие об аналитической функции. Ряд Тейлора. Разложение функции вещественной переменной в ряд Тейлора, страница 2

Очевидно, что формула Тейлора представляет равенство S(x)=S_n(x)+R_n(x)  для сходящегося степенного ряда  , причем  полином Тейлора является  “n”-ой частичной суммой  ряда S_n(x)=T_n(x,x₀), а остаток формулы Тейлора – суммой остатка ряда .Поэтому,если предел остатка формулы Тейлора , степенной ряд в точке «х» «сходится к значению функции» S(x)=f(x).

Теорема.

«Если производные бесконечно-дифференцируемой функции “f”  ограничены по модулю в r-окрестности точки х₀ 

, степенной ряд  сходится абсолютно в этой окрестности и его сумма S(x) определяет «ряд Тейлора для функции f в окрестности точки х₀» :   S(x)=f(x)»

Док-во.        Для любой точки окрестности  

Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора.

Вычисляются  значения функции и ее производных в точке дифференцируемости, и записывается ряд Тейлора.

Находится радиус сходимости этого степенного ряда.

Записывается разложение   .

Пример.

2) 

==================================================================

(ДЗ.+1:  « (1)Разложить функцию. Ln(1+x) в ряд Тейлора в окрестности точки Х₀=1;  (2) установить область сходимости этого степенного ряда и (3) вычислить приближенное значение  с погрешностью не более  eps=5.10^-5 )

 

Замечания.

1)  Для разложения в ряд Тейлора дробно-рациональных функций рекомендуется использовать степенной ряд бесконечно-убывающей геометрической прогрессии           и разложение рациональной дроби на простейшие.

Например, 

Разложение функции в ряд Тейлора можно получить, используя свойство почленного дифференцирования  и интегрирования степенного ряда.

Например,

!!! Обратите внимание : полученный степенной ряд представляет разложение функции f(x)=arctg(x) в окрестности точки х₀=0        и следовательно его коэффициенты определяют значения функции и ее производных в этой точке:

§4        Ряды Тейлора для функций e^x, sin(x), cos(x), ln(1+x).  Аналитические функции e^z, sin(z), cos(z);  формула Эйлера.

Функции e^x, sin(x), cos(x), ln(1+x) имеют производные любого порядка. “Построим для них соответствующие ряды Тейлора:

Докажем, например, (2).

Определения. Пусть 

1.     

2.      

Очевидно, что определенные на комплексной плоскости аналитические функции совпадают на числовой оси с соответствующими вещественными функциями e^x, sin(x), cos(x);  .

«Возврат кредита 1 семестра»…        

Докажем формулу Эйлера   , используя : (1)определение «комплексной экспоненты» e^z для z=jx;  ;  (2) ряды Тейлора для функций sin(x), cos(x) и (3) свойство сходящихся числовых рядов

 

 

 

 

§5      Приложения рядов Тейлора для вычисления и интегрирования функций.

Пусть задан (получен, найден) степенной ряд для функции f  в окрестности точки х₀

За приближенное значение этой функции в точке  естественно принять частичную сумму числового ряда ряда  , причем погрешность такого приближения определяется оценкой суммы остатка ряда:  .

Например, для вычисления приближенного значения  с погрешностью eps=10^-5   запишем соответствующий степенной ряд

----------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------021; 0.866026]; 

В математике и в физике встречаются бесконечно-дифференцируемые аналитические функции, задаваемые интегралами с переменным пределом, которые не выражаются через композицию элементарных функций. Такие функции называются “специальными функциями”  и как аналитические определяются соответствующими степенными рядами. Значения этих функций приводятся в соответствующих справочниках:

(1)  Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш; Специальные функции, М., Наука, 1997.

(2)  М. Абрамовиц, И. Стиган; Справочник по специальным функциям, М., Наука, 1979

Примеры некоторых специальных функций :

Построим степенной ряд и вычислим значение «интеграла ошибок» – функции:

    Для решения этой задачи запишем и почленно проинтегрируем степенной ряд для экспоненты

è     

Из справочника (1):  erf(1)=0.84270

====================================================

ДЗ.  (ЭКЗ)  Построить степенной ряд для функции Si(x) и вычислить приближенное значение Si(1) с погрешностью eps=0.0001.