Нахождение реализаций случайного процесса, наблюдаемых в результате опытов. Нахождение трехмерной плотности распределения вероятностей случайного процесса с независимыми сечениями, одномерное распределение которого подчиняется рэлеевскому распределению

№ варианта	Задача № 1	Задача № 2	Задача № 3
1.	1	27.	57 a
2.	2	28.	57 b
3.	3	29.	57 c
4.	4	30.	57 d
5.	5	31.	57 e
6.	6	32.	57 f
7.	7	33.	57 g
8.	8	34.	57 h
9.	9	35.	58
10.	10	36.	59
11.	11	37.	60
12.	12	38.	61
13.	13	39.	62
14.	14	40.	63
15.	15	41.	64
16.	16	42.	65
17.	17	43.	57 a
18.	18	44.	57 b
19.	19	45.	57 c
20.	20	46.	57 d
21.	21	47.	57 e
22.	22	48.	57 f
23.	23	49.	57 g
24.	24 а	50.	57 h
25.	24 б	51.	58
26.	24 в	52.	59
27.	24 г	53.	60
28.	24 д	54.	61
29.	25	55.	62
30.	26	56.	63

1.  Случайный процесс , где  – случайная величина, равномерно распределенная на интервале . Найти реализации случайного процесса, наблюдаемые в результате двух опытов, в которых случайная величина  приняла следующие значения: , .

2.  Найти трехмерную плотность распределения вероятностей случайного процесса с независимыми сечениями, одномерное распределение которого подчиняется рэлеевскому распределению экспоненциальному распределению.

3.  Найти n-мерную плотность распределения вероятностей случайного процесса с независимыми сечениями, одномерное распределение которого подчиняется экспоненциальному распределению.

4.  Одномерная плотность распределения вероятностей случайного процесса  имеет вид

, где  и  – неслучайные величины, причем . Определить           математическое ожидание и   дисперсию случайного процесса .           Определить вероятность выполнения неравенства      .

5.  Найти , , , ,  и плотность распределения вероятностей случайного процесса , где  – гауссовская случайная величина с параметрами  и ,   и  – неслучайные величины.

6.  Найти , , , ,  и функцию распределения вероятностей случайного процесса , где  – гауссовская случайная величина с параметрами  и ,   – неслучайная величина. 

7.  Найти , , , ,  и функцию распределения вероятностей  случайного процесса , где  – случайная величина, равномерно распределенная на интервале ;  – неслучайная величина.

8.  Найти , ,,, и  случайного процесса , где  – гауссовская случайная величина с плотностью распределения вероятностей

.

9.  Случайный процесс  , где  и  – некоррелированные гауссовские случайные величины с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями. Найти , ,,, и   случайного процесса .

10.  Двумерная плотность распределения вероятностей случайного процесса  равна

.

Найти , , ,, случайного процесса .

11.  Двумерная плотность распределения вероятностей случайного процесса  равна

, где  – неслучайная величина. Найти  , , ,, случайного процесса .

12.  Ковариационная функция случайного процесса  равна

.

Найти ковариационную функцию и дисперсию процесса

.

13.  Найти  , , ,, случайного процесса

, где  – случайная величина, равномерно распределенная на интервале       ;  и  – неслучайные величины.

14.  Определить ковариационную функцию и дисперсию случайного процесса

, где  и  – взаимно некоррелированные случайные величины       с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми       дисперсиями.

15.   Доказать, что корреляционная функция произведения  взаимно независимых случайных процессов с нулевыми математическими ожиданиями равна произведению их корреляционных функций.

16.   Математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса  заданы выражениями

 и .

Найти  , , ,,  случайного  процесса   .

17.  Заданы два случайных процесса:  и , где  и  – неслучайные величины;  и  – взаимно коррелированные случайные величины () с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями. Найти взаимную ковариационную функцию случайных процессов  и .

18.  Найти взаимную корреляционную и взаимную ковариационную функции двух случайных процессов  и , где  и  – взаимно некоррелированные случайные величины, равномерно распределенные на интервалах   и .

19.   Известны математические ожидания ,  и ковариационные функции  и  некоррелированных случайных процессов  и . Найти моментные функции процесса .

20.   Найти , , ,, случайного процесса , где  и  – взаимно некоррелированные случайные величины, распределенные по законам

 и

21.  Какими из перечисленных ниже свойств всегда обладает ковариационная  функция стационарного случайного процесса:

а) эта функция не отрицательная;

б) эта функция четная;

в) позволяет найти математическое ожидание;

г) позволяет найти дисперсию случайного процесса;

д) в нуле имеет максимальное значение.

22.  Задан случайный процесс

, где  – случайная величина, равномерно распределенная на интервале . Является ли  стационарным случайным процессом?

23.  Задан случайный процесс

, где   – случайная величина, равномерно распределенная на интервале ;  – стационарный случайный процесс. Является ли  стационарным случайным процессом?

24.  Даны корреляционные функции эргодических случайных процессов, описываемые выражениями:

а)  ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Найти дисперсии, ковариационные функции, нормированные корреляционные функции, абсолютные значения математических ожиданий и интервалы корреляции  и  этих процессов.

25.  Заданы случайные процессы

и

, где  и  – некоррелированные случайные величины, равномерно распределенные на интервале . Доказать, что данные случайные процессы стационарно связаны.

26.  Задан случайный процесс

, где  – эргодический случайный процесс с корреляционной функцией . Является ли  стационарным случайным процессом? Найти дисперсию  и интервал корреляции  процесса , как функции параметра . При каких условиях дисперсия процесса  больше дисперсии процесса ?

27.  Одномерная плотность распределения вероятностей и корреляционная функция эргодического процесса  заданы выражениями:

,

 .

Найти параметры  и .

28.   Корреляционная функция эргодического гауссовского случайного процесса  равна . Найти одномерную плотность распределения вероятностей процесса , если математическое ожидание меньше нуля.

29.   Случайный процесс  равен сумме двух статистически независимых эргодических случайных процессов  и  с отрицательными математическими ожиданиями и корреляционными функциями, заданными выражениями:

и

.

Определить математическое ожидание и дисперсию процесса .

30.  Случайный процесс  равен произведению двух взаимно некоррелированных эргодических случайных процессов  и  с корреляционными функциями, заданными выражениями:

и

.

Определить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процесса .

31.  Найти спектральную плотность мощности случайного процесса

, где  и  – некоррелированные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и одинаковой дисперсией.

32.   Найти спектральную плотность мощности случайного процесса , если спектральная плотность мощности стационарного процесса    равна

.

33.  Могут ли следующие функции быть корреляционными функциями