Закон распределения. Моментные функции. Стационарность и эргодичность

Выражение для функции распределения выглядит:

  где

   плотность функции распределения           

Получаем что                                при u<=0

                               а при u>0 

             

График данной функции имеет вид:

По определению характеристическая функция  определяется как:

Запишем выражение для энтропии

 и  – детерминированные функции времени, описываемые с помощью постоянных параметров , , , ,  и

Требуется:

а) определить математическое ожидание , дисперсию  и корреляционную функцию процесса ;

б) классифицировать процесс  по признакам стационарности и эргодичности.

 и  – некоррелированные эргодические случайные процессы, которые соответственно имеют известные математические ожидания  и  дисперсии  и  и автокорреляционные функции  и .

 и  – некоррелированные случайные величины с известными математическими ожиданиями  и  и дисперсиями  и ;

Дано:   

   

РЕШЕНИЕ

Определим математическое ожидания

        тогда

В силу некоррелированности случайной величины Х и S(t) детерминированная функция получим

Определение дисперсии

Так как величины Х и Y случайные некоррелированные величины то, пользуясь свойством дисперсии можно записать:

из теории вероятности: по теореме о необходимом условии независимости случайных величин, получим при независимости X и Y 

Учитывая тот факт что S2(t) детерминированный то выражения для дисперсии примет вид:

Определение корреляционной функции 

в силу свойств математического ожидания и некоррелированности величин

        где      

Проверим условие стационарности процесса

из данного равенства находится, что математическое ожидание зависит от времени, следовательно первое условие стационарности не выполняется.

Второе условие так же не выполнено, так как ковариационная функция зависит от положения времени отсчетов, а не только от

В связи с не выполнениями условий, процесс нельзя считать стационарным, а так же эргодическим и некоррелированным.