Другие предметы \ Радиоавтоматика

Расчет автоматической системы, страница 2

В итоге, характеристический полином с найденными коэффициентами:

(20)

6. Характеристический полином замкнутой системы и вычисление его коэффициентов.

По материалам [4] имеем:

(21)

G(р) – характеристический полином замкнутой системы. Из формулы (8) получим этот полином:

(22)

Найдем коэффициенты.

	(23)
	(24)
	(25)
	(26)
	(27)

Характеристический полином с найденными коэффициентами:

(28)

7. Анализ устойчивости системы по критерию Гурвица.

Проведем анализ устойчивости системы согласно [3]. Для этого необходимо из коэффициентов характеристического уравнения (22) составить матрицу Гурвица. С этой целью уравнение (22) запишем в виде

(29)

Как видно из характеристического полинома, все коэффициенты положительны. Выполняется необходимое, но недостаточное условие устойчивости системы по алгебраическому критерию Гурвица. Проверим достаточное условие устойчивости – положительность всех диагональных определителей матрицы Гурвица. Составим матрицу nxn. При этом по главной диагонали с верхнего левого угла до нижнего правого запишем коэффициенты от (а_n-1) до а_о. Остальные места заполним так: по строке вправо вписываем коэффициенты с возрастанием индекса, влево – с убыванием.

(30)

Если определитель матрицы (30) больше нуля, то система устойчива.

	(30)
	(31)

Определитель больше нуля, следовательно, система устойчива. И все корни уравнения (29) будут иметь отрицательные вещественные части.

8. Исследование устойчивости системы по критерию Михайлова (метод чередующихся корней). Построение годографа Михайлова.

Как известно, по Михайлову система n – порядка будет устойчива, если годограф характеристической частотной функции G(j) в диапазоне частот от нуля до бесконечности последовательно против часовой стрелки обходит n квадратов комплексной плоскости. Т.е. если система устойчива, то годограф функции G(j) поочередно пересекает вещественную и мнимую оси и не может подряд два раза пересечь одну и ту же ось.

(32)

Запишем G(p) как G(jw) и приравняем к нулю.

	(33)
	(34)

Найдем частоты пересечения с мнимой частью. Для этого вещественную часть приравняем нулю.

(35)

Чтобы решить данное уравнение выполним замену переменной x = w².

	(36)
	(37)

x₁ = 1899,561 x₂ = 0,439

w = 43,584/с w = 0,662 1/с

Теперь найдем частоты пересечения с вещественной частью. Для этого мнимую часть приравняем нулю.

(38)

w = 0 1/с w = 15,811 1/с

Выстроим частоты по порядку и посмотрим, пересекаются ли где-нибудь оси два или более раз подряд.

0 0,662 15,881 43,584

Система устойчива, так как оси по порядку пересекаются не больше одного раза. Построим годограф Михайлова. Для этого найдем координаты пересечения годографа с осями.

w = 0 G(jw) = 80

w = 0,662 G(jw) = 108,601j

w = 15,881 G(jw) = -39820

w = 43,584 G(jw) = -69020j

На рисунке 3, б показано в более мелком масштабе, что годограф Михайлова не проходит через точку 0.

а)

б)

Рисунок 2. Годографы Михайлова в разном масштабе.

9. Исследование устойчивости системы по критерию Найквиста. Построение годографа Найквиста. Определение запаса устойчивости по модулю и по фазе.

Построим годограф К(р).

(39)

а)

б)

в)

Рисунок 3. Годографы Найквиста в разном масштабе.

Годограф системы не охватывает точку «-1», следовательно, система устойчива.

Запасом устойчивости по амплитуде согласно [6] называют расстояние между критической точкой (-1, j0) и ближайшей к ней точкой пересечения АФХ с отрицательной полуосью абсцисс. Годограф Найквиста проходит через ноль, следователь запас устойчивости по модулю равен 1.

Запас устойчивости по фазе характеризует удаленность точки АФХ, соответствующей частоте среза от критической точки (-1,j0). Определим его в соответствии с рис. 3, как угол: