О фотонах, волнах и дуализме. Корпускулярно-волновой дуализм вещества. Волновая функция и ее статистический смысл

ЛЕКЦИЯ  № 6

2. Корпускулярно-волновой дуализм вещества

В 1924 г. французский физик-теоретик Луи де Бройль выдвинул гипотезу:

всякая движущаяся частица подобно фотону обладает волновыми свойствами (сама является волной).

Значит, для нее можно вычислить длину волны по аналогии с формулой (5-2) для импульса фотона:

,                                        (6-1)

где р – импульс частицы.

В нерелятивистском случае

Для больших скоростей

udс

Только спустя 3 года гипотеза де Бройля была экспериментально подтверждена

1927 г. - Джермер и Девиссон

- Томсон и Тартаковский

1949 г. - Биберман, Сушкин, Фабрикант

Таким образом, корпускулярно-волновой дуализм вещества предполагает, что у любого объекта есть потенциальная возможность проявить себя, в зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом.

Так, например, для частицы массой 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с  l_В= 6,63×10^-31 м  доступной наблюдению области (таких структур просто не существует).

А вот, например, для электрона (m ~ 10^-30 кг), движущегося в атоме со скоростью u ~ 10⁶ м/с получаем l ~ 10^-10 м, что соответствует как раз размеру атома, где и «живет» электрон.

Поэтому для того, чтобы определить существенны ли волновые свойства у частицы или нет, нужно вычислить дебройлевскую длину волны этой частицы и сравнить ее с каким-либо характерным размером в задаче L. Если l_В <<L,то такая частица практически не проявляет свои волновые свойства и для описания ее поведения можно использовать законы классической или релятивистской механики. А вот если l_В ~L, тогда для описания поведения такой частицы требуются уже другие законы (законы квантовой (волновой) механики).

Итак, для описания микрочастиц используются то корпускулярные, то волновые представления. Поэтому приписывать частицам все свойства волн или все свойства частиц нельзя. Необходимы ограничения в применении к микрочастицам законов классической механики.

Классическая механика считает, что если частица движется по определенной траектории, то  в любой момент времени ее координаты и импульс достаточно точно известны:

.

Для микрочастиц, из-за наличия у них волновых свойств, неправомерно говорить о точных значениях координаты и импульса (так, понятие «длина волны в данной точке» лишено физического смысла, а так как , то и импульс частицы точно не определен).

Немецкий физик Гейзенберг в 1927 году сформулировал  принцип (соотношение) неопределенностей:

микрочастица не может одновременно иметь и точную координату и точное значение импульса, при этом неопределенности (погрешности) этих величин должны удовлетворять условию:

  DzDp_z                      (6-2)

то есть произведение неопределенностей координаты на соответствующую ей проекцию неопределенности импульса не может быть меньше величины порядка h.

Так как погрешности измерения скорости любой частицы Du << u (предельная Du << c = 3×10⁸ м/с), тогда, например, для электрона(m ~10^-30 кг) имеем:

 м.

Т. е., например, в ядре атома, размер которого  ~ 10^-15  м, электрон не может находиться, а вот внутри атома, размер которого  ~ 10^-10  м, такое возможно (электрон, как раз, и «живет» в атоме!)

В квантовой физике рассматривается также соотношение неопре-деленностей для энергии W и времени t, то есть неопределенности этих величин определяются условием:

                                                                            (6-3)

где DW - неопределенность энергии некоторого состояния системы;

Dt - промежуток времени, в течение которого это состояние существует.

3. Волновая функция и ее статистический смысл

Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля о корпус-кулярно-волновом дуализме,  ограниченность применения законов классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также невозможность в рамках классической электродинамики объяснить ряд экспериментальных фактов (фотоэффект, эффект Комптона и др.) привело к созданию квантовой механики, описывающей законы движения микрочастиц с учетом их волновых свойств.

Поведение фотона (электромагнитной волны) описывается уравнением:

так как

, тогда

                  (6-4)

где  - мнимая единица.

Поведение микрочастицы можно описать аналогично:

                                                        (6-5)

где  - Пси-функция (или волновая функция) – математическое выражение, описывающее поведение микрочастицы;

 - амплитуда волновой функции;

W и p – энергия и импульс микрочастицы.

Установим физический смысл волновой функции.

Рассмотрим аналогию между дифракцией света и дифракцией электронов на двух щелях.

Для фотонов (электромагнитной волны):

    ®    

Для электронов:

, так как Y может быть комплексной, а вероятность P всегда действи-тельная величина.

,       DV – объем области на экране, куда попадают частицы.

Тогда                                    

                                                             (6-6)

Квадрат модуля волновой функции определяется плотностью вероятности пребывания микрочастицы в элементе объема dV, то есть в объеме с координатами x + dx,  y + dy, z + dz.

Таким образом, физическим смыслом обладает не сама волновая функция, а квадрат ее модуля.

И так как  носит вероятностный характер, то волновую функцию  иногда называют амплитудой вероятности.

(Так как теория вероятностей используется в статистической физике, то формула (6-6) определяет физический или статистический смысл -функции).

Из этого определения волновой функции следуют ее свойства:

1)  однозначность (вероятность имеет одно значение);

2)  конечность (вероятность – конечная величина £ 100%);

3)  непрерывность (вероятность не должна иметь точек разрыва);

4)  условие нормировки 1.   ®