Расчет максимума и минимума целевой функции графоаналитическим методом. Определение оптимального параметрического ряда изделий для удовлетворения заданного спроса

Разделим третью строку на ключевой элемент, равный 5, получим третью строку новой таблицы.

Базисным столбцам соответствуют единичные столбцы.

Расчет остальных значений таблицы:

«БП – Базисный План»:

;  ;  

«х1»:   ;  ;  

«х5»:    ;  .  

Значения индексной строки неотрицательны, следовательно получаем оптимальное решение:  , ;   .

Ответ:  максимальную прибыль от реализации изготовленной продукции, равную 160/3 ед., обеспечивает выпуск только продукции второго типа в количестве 80/9 единиц.

Задание № 2

Дана задача нелинейного программирования. Найти максимум и минимум целевой функции графоаналитическим методом. Составить функцию Лагранжа и показать, что в точках экстремума выполняются достаточные условия минимума (максимума).

Т.к. последняя цифра шифра равна 8, то А=2; В=5.

Т.к. предпоследняя цифра шифра равна 1, то следует выбрать задачу № 1.

Решение:

1) Начертим область, которую задает система неравенств.

Эта область – треугольник АВС с координатами вершин: А(0; 2);  В(4; 6) и С(16/3; 14/3).

Уровни целевой функции  представляют собой окружности с центром в точке (2; 5). Квадраты радиусов  будут являться значениями целевой функции. Тогда по рисунку видно, что минимальное значение целевой функции достигается в точке Н, максимальное – либо в точке А, либо в точке С.

Значение целевой функции в точке А:  ;

Значение целевой функции в точке С:  ;

Значит, наибольшее значение функции достигается в точке А(0; 2) и равно 13.

Найдем координаты точки Н.

Для этого рассмотрим систему:

   ó  

         ó  

Прямая  является касательной к окружности, если уравнение  имеет единственное решение. Квадратное уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен 0.

Тогда ;  ;    - минимальное значение функции.

2) Составим функцию Лагранжа для нахождение минимального решения:

Достаточные условия экстремума:

При x₁=2.5; x₂=4.5 получим:

   ó     

Система имеет решение при , т.е. достаточные условия экстремума выполняются.

Составим функцию Лагранжа для нахождение максимального решения:

Достаточные условия экстремума:

При x₁=0; x₂=2 получим:

   ó        ó 

Система также имеет решение, т.е. достаточные условия экстремума выполняются.

Ответ: минимум целевой функции достигается при ; ;  максимум целевой функции достигается при ; .

Задание № 3

Двум предприятиям выделяются средства в количестве dединиц. При выделении первому предприятию на год xединиц средств оно обеспечивает доход k₁xединиц, а при выделении второму предприятию yединиц средств, оно обеспечивает доход k₁yединиц. Остаток средств к концу года для первого предприятия равен nx, а для второго my. Как распределить все средства в течение 4-х лет, чтобы общий доход был наибольшим? Задачу решить методом динамического программирования.

i=8, k=1.

A=2200;  k₁=6;  k₂=1;  n=0.2;  m=0.5.

Решение:

Весь период длительностью 4 года разбиваем на 4 этапа, каждый из которых равен одному году. Пронумеруем этапы начиная с первого года. Пусть Х_k и Y_k – средства, выделенные соответственно предприятиям А и В на k – том этапе. Тогда сумма Х_k + Y_k =а_k является общим количеством средств, используемых на k – том этапе и оставшиеся от предыдущего этапа k – 1. на первом этапе используются все выделенные средства и а₁ =2200 ед. доход, который будет получен на k – том этапе, при выделении Х_k и Y_k единиц составит 6Х_k + 1Y_k. пусть максимальный доход, полученный на последних этапах начиная с k – того этапа составляет f_k (а_k) ед. запишем функциональное уравнение Беллмана, выражающее принцип оптимальности: каково бы не было начальное состояние и начальное решение последующее решение должно быть оптимальным по отношению к состоянию, получаемому в результате начального состояния:

Для каждого этапа нужно выбрать значение Х_k, а значение Y_k =а_k – х_k. С учетом этого найдем доход на k – том этапе:

Функциональное уравнение Беллмана будет иметь вид:

Рассмотрим все этапы, начиная с последнего.

При k=4.

(т.к. максимум линейной функции  достигается в конце отрезка [0; а₄] при х₄ = а₄); 

При k=3.

(т.к. максимум линейной функции  достигается в конце отрезка [0; а₃] при х₃ = а₃)

При k=2.

(т.к. максимум линейной функции достигается в конце отрезка [0; а₂] при х₂ = а₂)

При k=1.

(т.к. максимум линейной функции достигается в конце отрезка [0; а₁] при х₁ = а₁). y₁= а₁ – х₁=0.

Таким образом, максимальный доход за 4-е года составит

 ед.

Для получения этого дохода нужно во все четыре года все средства вложить в предприятие А (а₁= х_1, y₁= 0; а₂= х_2, y₂= 0; а₃= х_3, y₃= 0; а₄= х_4, y₄= 0).

Ответ: средства следует вкладывать только в предприятие А суммарный доход за 4 года составит 16473,6 ед.

Задание № 4

Определить  - оптимальный параметрический ряд изделий для удовлетворения заданного спроса, а именно число типов изделий N, значения параметров  (k=1,2,…,5) изделий, при которых суммарные затраты минимальны, множество видов изделий, обслуживаемых изделием каждого выбранного K-го типа -, количество изделий каждого вида , необходимых для удовлетворения спроса и минимальные затраты на изделия каждого K-го вида:

.

Построить полное дерево решений, и показать какие его ветви отсекаются при использовании метода ветвей и границ, и как вследствие этого сокращается объем вычислений по сравнению с методом полного