Общие понятия о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные ДУ второго порядка

Курс лекций по дифференциальным уравнениям для студентов-заочников.

Лекция 1. Общие понятия.

При изучении физических явлений часто возникают уравнения, связывающие неизвестную функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными.

Примеры.

1.  уравнение радиоактивного распада(k−постоянная распада, x−количество неразложившегося вещества в момент времени t, скорость распада  пропорциональна количеству неразложившегося вещества).

2. − уравнение движения точки массой  под влиянием силы , зависящей от времени, положения точки, определяемого радиус-вектором , и ее скорости . Сила равна произведению массы на ускорение.

3. −уравнение Пуассона, которому, например, удовлетворяет потенциал  электростатического поля, −плотность зарядов.

Нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальным уравнением, является основной задачей теории дифференциальных уравнений.

Если в дифференциальном уравнении неизвестные функции или вектор-функции являются функциями одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным(например, уравнения 1, 2). Если же неизвестная функция зависит от двух и более переменных, то уравнение называется уравнением в частных производных (например, уравнение 3).

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в уравнение производной неизвестной функции.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество.

Например, уравнение радиоактивного распада

имеет решение

где c − произвольная постоянная.

Уравнение не вполне определяет закон распада . Нужно еще знать количество вещества  в момент времени . Тогда, закон распада примет вид . Задача нахождения  при заданном начальном условии , называется задачей Коши.

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Не всегда решение находится в явном виде, как в рассмотренном примере. Однако, используя компьютеры, можно решить дифференциальное уравнение приближенно с большой точностью.

При интегрировании дифференциального уравнения обычно ставят цель найти все его решения. Например, в уравнении все решения получаются из решения при некотором выборе постоянной C. Решение называется общим решением уравнения . Решения дифференциального уравнения, получаемые из общего решения, называются частными. Однако, иногда не удается включить в общее решение все решения уравнения. Решения, не являющиеся частными, называются особыми.

Не всегда удается найти решение в явном виде. Иногда оно задается неявно соотношением , называемым интегралом уравнения. Соответственно, при неявном задании общего решения уравнения получается общий интеграл уравнения .

Рассмотрим уравнение первого порядка

                                ,                         

разрешенное относительно производной.

Пусть функция  имеет своей областью определения некоторую область , которая также является областью определения уравнения . Обычно далее предполагается, что  непрерывна в . Функция , непрерывная и непрерывно дифференцируемая на , такая, что  при , , называется решением уравнения на .

Пример 4. Уравнение  имеет решение . Решением также будет являться любая функция вида , где − произвольная постоянная.

Геометрически решению уравнения соответствует линия, лежащая в области D плоскости  и представляющая собой график функции . Эта линия называется интегральной линией уравнения . Так как функция  имеет непрерывную производную , интегральная линия имеет в каждой точке  касательную, угловой коэффициент которой определяется из уравнения .

Заметим, что общему решению соответствует семейство кривых, а решению задачи Коши − интегральная кривая, проходящая через точку .

Лекция 2.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

2.1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка можно, разрешив относительно производной, представить в виде . Простейший пример такого уравнения . В этом случае  содержит произвольную постоянную, которая может быть определена, если известно значение , тогда .

Вообще, при некоторых ограничениях на функцию , уравнение  также имеет единственное решение, удовлетворяющее условию , а его общее решение зависит от одной произвольной постоянной.

2.2. Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными. Функции  и  будем считать непрерывными. Если  − решение, то после подстановки его в и интегрирования, получим

                      ,                      

  где  − произвольная постоянная. 

Мы получили уравнение , которому удовлетворяют все решения уравнения . И обратно, если  удовлетворяет , то после дифференцирования получим, что он удовлетворяет и .

Вполне возможно, что в некоторых задачах  и  нельзя будет выразить в элементарных функциях, однако в этом случае мы будем считать задачу интегрирования дифференциального уравнения выполненной, поскольку мы свели ее к нахождению неопределенных интегралов или квадратур.

Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условию , то оно, очевидно, определится из уравнения , которое получим из , воспользовавшись начальным условием .

Пример 1. .

Переменные разделены, поскольку при  стоит функция