Моделювання об`єктів і процесів на прикладі дослідження перехідних процесів електричного кола

Визначимо початкові умови (значення токів і напруг в момент часу t=0):

 

Визначення передаточної функції

Передаточна функція знаходиться як:

Для даного випадку:

Таким чином маємо: .

Зробимо заміни:

Звідки, підставляючи числові значення отримаємо:

Передаточна функція приймає остаточний вигляд:

 Виходячи з виду передаточної функції можна зробити висновок, що схему можна представити коливальною ланкою (k=1).

5. Розробка аналогової моделі об`єкту

Приведемо систему рівнянь, складену по методу вузлових потенціалів до виду зручного для моделювання:

Переходимо до машинних змінних:

,

де - машинний час.

Позбавимося від масштабів в лівих частинах рівнянь:

Коефіцієнти передачі операційних підсилювачів:

Таким чином отримаємо систему рівнянь:

Розрахуємо коефіцієнти передачі:

Підставляючи знайдені величини масштабів у вирази коефіцієнтів отримаємо:

Структурна схема моделі має вигляд:

6.Розробка чисельної моделі об`єкта

Приводимо систему рівнянь до форми Коши:

Переходимо до рівнянь з кінцевими приростами:

  

Застосовуючи  метод Ейлера отримаємо алгоритм обчислення:

Розробка програми моделювання на мові Pascal

program modelirovanie;

uses crt,graph;

var gd,gm,N,p,q,mu,mi:integer;

    f:longint;

    e,R1,L1,L2,C1,Cm,t,i1,i2,im,Uc1,U1,Ucm,h,mt,k1,k2,k3,k4,k5:real;

    massi1:array[1..6400] of integer;

    massim:array[1..6400] of integer;

    massUcm:array[1..6400] of integer;}

    massU1:array[1..6400] of integer;

    ttemp:array[1..6400] of integer;

begin

e:=500;R1:=30;L1:=0.0004;L2:=0.0001;C1:=0.2;Cm:=1;f:=20000;

t:=0;i1:=0;i2:=0;im:=0;Uc1:=e;U1:=e;Ucm:=0;h:=1/17000000;  {завдання початкових умов}

mu:=10000;mi:=500;mt:=1/1600000;

k1:=0.02;k2:=0.002;k3:=0.04;k4:=0.7;k5:=0.1;

clrscr;      

p:=0;

q:=0;

write('Введите количество шагов на период');

readln(N);

while q<=N do

begin

 i1:=i1+h*(k1*e-k1*Uc1-k2*R1*i1)/mt;

 im:=im+h*(k3*Uc1-k3*Ucm)/mt;

 U1:=U1+h*k4*i2/mt;

 Ucm:=Ucm+(k5*im*h)/mt;

 i2:=i1-im;

 t:=t+h/mt;

 massi1[q]:=round(400-i1);

 massim[q]:=trunc(400-im);

 massUcm[q]:=round(400-Ucm*0.6);

 massU1[q]:=round(350-U1*0.5);

 ttemp[q]:=round(t);

 q:=q+1;

end;

gd:=vga;

gm:=vgahi;

initgraph(gd,gm,'c:\TP\TP\BGI');

cleardevice;

setbkcolor(0);

setcolor(15);

line(0,400,640,400);

line(5,479,5,0);

line(640,400,620,395);

line(640,400,620,405);

line(5,0,0,20);

line(5,0,10,20);

setcolor(10);

line(5,340,640,340);

outtextxy(20,320,'10,A');

setcolor(12);

line(5,100,640,100);

outtextxy(20,80,'500,V');

p:=0;

while p<=N do

begin

 setcolor(red);

 putpixel(5+ttemp[p],massi1[p],red);

 setcolor(2);

 putpixel(5+ttemp[p],massUcm[p],green);}

 setcolor(14);

 putpixel(5+ttemp[p],massU1[p],blue);

 {setcolor(3);

 putpixel(5+ttemp[p],massim[p],yellow);

 p:=p+1;

end;

readln;

closegraph;

end.

7. Реалізація чисельної моделі з використанням програми MathCAD

Одержимо залежності U_н(t), i_н(t), e(t), i₁(t) після замикання ключа при:

1.  постійній e=E ЕРС:

U₁(t)

                                                               i₁(t)  

 U_н(t)

 

i_н(t)

2.  синусоїдальній  e=Esinωt ЕРС:

Розрахуємо початкові умови кола, тобто значення i1(t), u_c1(t) в момент часу t=0.

До замикання ключа коло являє собою послідовний RLC-контур, тобто максимальне значення i1_m можна знайти як:

Зсув фаз знаходимо по формулі:

Таким чином   при t=0 має значення .

Вираз для напруги шукаємо як:

Підставляючи числові значення:

U₁(t)

   

U_н(t)

 e(t)

 i_н(t)

i₁(t)

  8. Побудова ЛАЧХ в заданому діапазоні Δf

Побудуємо логарифмічну амплітудно-частотну характеристику () по одержаній в п.4 передаточній функції:

Для коливальної ланки (з k=1):

Так як , то

Для побудови використаємо програму MathCAD:

Висновок

Під час виконання даного курсового проекту були отримані навички моделювання об`єктів і процесів на прикладі дослідження перехідних процесів  електричного кола. Курсовий проект можна умовно поділити на 3 частини:

1.  Вступна частина.

2.  Розробка аналогової і чисельної моделі об`єкту .

3.  Проведення досліджень.

У вступній частині розкрите питання про математичне моделювання як одного з методів наукових досліджень, а також дана класифікація способів моделювання і розглянуті основні етапи моделювання на АОМ і ЦОМ. Друга частина є основним розділом проекту і включає в себе такі важливі питання як: 1). Математичне описання кола, тобто по законам Кірхгофа або по методу вузлових потенціалів записується система диференційних рівнянь для даного електричного кола та визначаються початкові умови; 2). Визначення передаточної функції; 3). Розробка  аналогової моделі (приведення системи рівнянь до виду зручного для моделювання, введення масштабів для змінних, розрахунок коефіцієнтів передачі операційних підсилювачів і побудова структурної схеми); 4). Розробка чисельної моделі (приведення системи рівнянь до форми Коші та до рівнянь з кінцевими приростами, розробка алгоритму обчислень з використанням прямого методу Ейлера), реалізація чисельної моделі з використанням мови програмування Pascal.   

Проведення досліджень являє собою: 1). одержання залежностей U(t) та i(t) (вказаних в таблиці) при постійній та синусоїдальній e за допомогою програми MathCAD; 2). побудову амплітудно-частотної характеристики в заданому діапазоні по передаточній функції.

Проаналізувавши одержані залежності можна дійти висновків про параметри перехідного процесу:

при постійній е процес триває приблизно 0,0008 с і найдені величини досягають таких максимальних значень U1(0,95·10^-4 c)=761,125 B, Uн(1·10^-4 c)=552,512 B,  i1(0,18·10^-4 с)=12,088 А, iн(0,3·10^-4 c)=22.488 А;

при синусоїдальній е величини приймають таких максимальних значень U1(0,13·10^-4 c)=250,647 B, Uн(2,8·10^-5 c)=124,228 B,  i1(1,7·10^-4 с)=8,764 А,  iн(1,9·10^-5 c)=17.646 А.

ЛАЧХ досягає свого максимума 4 дБ при резонансній частоті